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 voir que la surface du cercle fondamental peut se décomposer (et cela 

 d'une infinité de manières) en une infinité de l'égions R„, R,, .. -.Bn .-., 

 satisfaisant aux conditions suivantes : 



» I. Ces régions sont des polygones curvilignes dont les côtés sont des 

 arcs de cercle appartenant à des circonférences qui coupent orthogonalement 

 le cercle fondamental. 



» IL On a, quel que soit l'indice i, 



R,= RnK,, 



Kj étant une opération du groupe hyperbolique. 



» Il est clair que les diflérentes opérations K, forment un groupe dis- 

 continu contenu dans le groupe hyperbolique, c'est-à-dire un groupe 

 fiichsien. 



» PROBLf;ME I. — Est-il possible d'effectuer cette décomposition de telle façon 

 que la première de ces rêijions R„ soit un jïolygone curviligne donné? 



» Prenons un exemple particulier; envisageons deux triangles curvi- 

 lignes ABC, BCD dont les côtés soient des arcs appartenant à des circonfé- 

 rences qui coupent orthogonalement le cercle fondamental. Supposons que 

 les angles curvilignes de ces triangles soient égaux respectivement : 



BAC et BDC à ^, 

 CBA et CBD à y 

 RCA et BCD à -, 



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 a, /3, Y étant dos nombres entiers positifs (finis ou infinis), et tels que 



I I I , 



a p 7 



» On pourra décomposer la surface du cercle fondamental en une infinité 

 de régions Ro, R,, . . ., R,, . . . satisfaisant aux conditions T et II et de telle 

 sorte que R(, soit précisément le quadrilatère ABCD. A ce mode de décom- 

 position correspond un groupe fuchsien que j'appelle le groupe (a, /3,y). 



» Je résous ensuite le jiroblème I dans le cas général et je montre com- 

 ment on peut former tous les groupes fuchsiens et en donner une classifi- 

 cation nitionnelle à deux points de vue différents, 



» Parmi les groupes fuchsiens, il en est qui méritent d'attirer particuliè- 

 rement notre attention : 



