( 335 ) 

 •» \° Le groupe (2, 3, ao ), qui est isomorphe au groupe des opérations 



qui changent z en ,^ a, h, c, d étant des entiers tels que ad — bc = i . 



T. O 6- Z -H « 



» 2° Certains groupes qui sont isomorphes aux groupes des substitutions 

 linéaires à coefficients entiers, qui reproduisent une forme quadratique 

 ternaire indéfinie à coefficients entiers. 



» L'existence de ces groupes fait ressortir les fiens intimes qui unissent 

 la théorie des nombres à la question analytique qui nous occupe. 



» J'appelle fonction tliétajuchsienne toute fonction 0(z) uniforme en s, et 

 telle que (K, étant une opération quelconque d'un groupe fuchsien) on ait 

 identiquement 



0(zK,) = e(^)(^'' 



m étant un nombre entier positif. 



» En d'autres termes, pour une infinité de valeurs de a, b, c, d, telles 

 que 



ad — bc = I , 

 on aura identiquement 



e{':;^,) = eiz){cz^dr. 



» Je démontre qu'il existe une infinité de fonctions thétafuchsiennes dé- 

 finies par la série convergente 



fdzK, 



Ih(='v)(',, 



1=1 



m est un nombre entier plus grand que i ; K^ est une opération quelconque 

 d'un groupe fuchsien quelconque G; H(z) est une fonction rationnelle de z. 



» Il peut se présenter deux cas : 1° Tous les points du cercle fondamental 

 sont des points singuliers essentiels de 0(z); il y a alors en réalité deux 

 fonctions distinctes : la première n'existe qu'à l'intérieur du cercle fonda- 

 mental, la seconde à l'extérieur seulement, car on ne peut passer de l'une 

 à l'autre par continuité. 2° Q[z) a une infinité de points singuliers essentiels 

 sur le cercle fondamental, mais ces points singuliers sont isolés, de sorte 

 que la fonction existe dans tout le plan. 



» Cette fonction est toujours méromorphe, sauf sur le cercle fondamen- 

 tal; j'indique le moyen de calculer le nombre de ses zéros distincts et de 

 ses infinis distincts. » 



