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y, et y 2 satisfont à l'équation différentielle 



(f{x) étant algébrique en x. 



» Soil, en particulier, l'équation 



(0 :7Zi=y 



a^ ' p^ ' ' "^ 7^ «* p--' 



rfjT^^-'L 4-1- 4(x — i)^ 4x{.»-- 



où «, |3, Y sont des nombres entiers positifs finis ou infinis, et tels que 



-+ »-t--<i. 



a p 7 



» Si z est le rapport des intégrales, on a 



X=/{2), 



y"(z) étant luie fonction fuchsienne relative au groupe (a, /3, y). 



» Elle n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental, et peut être 

 regardée comme le quotient des deux fonctions thétafuchsiennes 



(S)"' (S">w 



m, p et g sont des nombres entiers qui satisfont aux inégalités toujours 

 compatibles 



1— — _-5 i— — t-z-, II-' 



m~ V. m ~ p m "7 



» Ces deux fonctions, qui n'existent qu'à l'intérieur du cercle fonda- 

 mental, sont holomorphes à l'intérieur de ce cercle. 



M Si a = |3^-y = co, l'équation (i) se ramène à l'équation qui déter- 

 mine les périodes de sinamx en fonctions du carré du module. 



» Je ramène ensuite aux fonctions thétafuchsiennes ces invariants arithmé- 

 tiques que j'ai définis dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à 

 l'Académie en septembre 1879. 



M Soit F(z) une fonction fuchsienne quelconque; posons x — F(z). 



M J'appelle iji(ème de fonctions zélafucluiennes tout système de fonctions 



