0,iz),û.,{z),. 



( 3<)7 ) 

 0„{z) uniformes eu z, et telles que le déterminant 



soit une fonction ftichsiennede :;, quels que soient les entiers a,, «, , . . , a„. 



» Il est clair que 5,, $2, •• ■. 5« satisferont à une équation différentielle 

 linéaire dont les coefficients seront algébriques en .r. 



» Je démontre que l'on peut former une infinité de fonctions zéta- 

 fuchsiennes dont je donne diverses expressions par des séries, et qui per- 

 mettent d'intégrer une infinité d'équations différentielles, entre autres 

 toutes les équations différentielles linéaires à coefficients rationnels qui ne pré- 

 sentent que deux points singuliers à distance finie et un à l'infini. 



» Donnons une application particulière. 



» Soient K et K' les périodes d'une fonction elliptique, w le carré de 

 son module. 



» Soit 155 un algorithme tel que 



K + v'-~K' 



» Soit une équation diflérentielle linéaire à coefficients rationnels ayant 

 pour points singuliers 



. , 0„{z) les intégrales de 

 ., 0,1 des fonctions zéta- 



» Posons a- = (p[z), et soient 0,{z), ^^{z), .. 

 l'équation proposée : 



M 1° 9(;) sera une fonction fuchsienne, (9,, C^, 

 fuclisiennes. 



» Ces fonctions n'existeront qu'à l'intérieur du cercle fondamental. 



» Elles seront holomorphes à l'intérieur de ce cercle, et par conséquent 

 pourront toujours être représentées par des séries entières dont les coeffi- 

 cients sont aisés à calculer. 



» En résumé, il exiï-te une classe très étendue de fonctions dont les fonc- 

 tions elliptiques ne sont qu'un cas particulier. Elles permettent d'intégrer 

 un grand nombre d'équations différentielles. Différentes propiiétés font 



C.R., i>8i. l'^Scviesm-. (T. X.CII, NMÎ.) '^^ 



