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j'envisage le système ahélien 



Fii>,,jril 'l >-, F, ( .<■„, r,,trf.>v , 



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» Toute fonction symétrique de .i',, .r^, . . ., Xp est, comme on sait, une 

 fonction uniforme de 11^, u,, . . ., Up_, a ip paires de périodes. Mais ici va 

 s'offrir une circonstance particulière : la variable ?/„ restant fixe, cette fonc- 

 tion peut être considérée comme une fonction uniforme de «,, ii^, ■ ■ -, «p-t 

 à 2(^ — 1) paires de périodes. Ug ayant donc une valeur constante, Us 

 p fonctions symétriques de x,, jc.., . . ., a-p deviennent des fonctions uni- 

 formes de {p — i) variables à 2[p — i) paires de périodes, et, par suite, il 

 existe entre elles une relation algébrique. On en conclut immédiatement 

 que l'équation aux différentielles totales 



f^\ F(.r,,.r,) d>; ^ ^ F[.r,„x,,](i-' 



i> 



a son intégrale générale algébrique. 



» La réciproque de la proposition précédente est exacte et s'établit bien 

 aisément: si l'équation (2) a son intégrale générale algébrique, l'intégrale 

 abélienne (i) n'aura pas plus de deux périodes. 



» .On voit donc le lien étroit qui rattache la question de la réduction des 

 intégrales abéliennes aux intégrales elliptiques et l'intégration algébrique 

 de certaines équations différentielles. Je vais traiter ici complètement la 

 question dans le cas d'une intégrale abélienne du premier genre, c'est- 

 à-dire correspondant à la courbe 



(3) y- = x[\-x){\~k^x)[i-\-a:)[\ - lJ.-a:)^^{x). 



» Nous allons chercher conuiient doivent être choisis k, \ et p. pour que 

 l'on puisse trouver un pol^nômey (a-) du [)remier degré, de manière que 

 l'équation 



