( 4o. ) 



1 — TT-( in'n — inii'\ -+- Tzin 



on 



( —n-{in'ii — mii') + T,i(/.[imi'—ini)') [-7ii^{ti(/— ii'q) 



\ H- Tiiy{njy+ in'q — iw/— n'p) + {p''] — p(}'){'/^ — c/.fi) = o. 



Voilà donc une relation à laquelle doivent satisfaire les trois quantités a, 

 jS, Y pour des valeiu-s convenables données aux entiers m, n, p, q, m', n', 



P' el î'- 



» Réci|)roquenient, si l'on pn-nd deux intégrales normales P et Q, for- 

 mées à l'aide de trois quantités a, jS et 7 vérifiant une relation de la 

 forme (6), l'intégrale abélienne 



BP(x)-B'Q(.r), 

 où 



B 2n?ir/ + 2/Ja + ai/V in' 1:1 -+■ ip'a. + 27*7 



B' •i.imzi 4- jp-^ -\- nyS im'izi -\- ipi -\- 27'p 



n'aura que deux périodes. Mais on sait que les trois modules A^,X*, j^.- 

 s'cxpriment à l'aide de a, /3, y par les formules de Gopel et de M. Ro- 

 senhain, 



(7) ^,^ e|>,o)0;3(o,o) 



les étant formés précisément avec les quantités a, /3, y. 



» La question proposée est donc résolue d'une manière complète. On 

 pourra trouver un polynôme /(a;) ilu premier dtgré tel que l'équation (4) 

 ait ses intégrales algébriques, si k, \ et p. sont donnés par les formules (7) 

 dont les seconds membres sont des fonctions de trois quantités a, /3 et y 

 assujetties à satisfaire à une relation de la forme (6). 



» Les considérations générales exposées au début de cette Note peuvent 

 être étendues à un problème qui, au point de vue où nous sommes |dacés, 

 sera la généralisation de celui qui est relatif à la réduction des intégrales 

 abéliennes aux intégrales elliptiques. Supposons que deux intégrales de 

 l)remière espèce 



J f:{-^,y) ' J Z'.V.j) 



n'aient que quatre périodes, et cela de telle manière (pie, 



rt, h, c, d, 

 n,, b,, f,, (f, 



désignant quatre périodes correspondantes irréductibles, tout autre sys- 



