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 parmi les candidats à la place laissée vacante, dans la Section de Géomé- 

 trie, par le décès de Al. Chastes. 



GÉOMÉTRIE. — Sur une nouvelle défiriilion de la surface des ondes. 

 Note de M. G. Darboux. 



« Dans le Tome IX du Qiiarlerly Journal of Malhematics^ M. Niven a 

 donné la remarquable proposition suivante, relative à la surface des ondes: 



» Les trois sphères passant par les trois cercles principaux et par un point 

 quelconque M de la surface vont se coui>er en un second point P qui est le pied 

 de la perpendiculaire abaissée du centre de la surface sur le plan tangent en M. 



» M. Niven a remarqué que ce tliéorènie permet de construire soit le 

 plan tangent en un point donné, soit le point de contact d'un plan langent 

 donné. Je vais établir qu'il conduit à une définition simple et nouvelle de 

 la surface des ondes, définition dont le caractère essentiel sera de n'em- 

 ployer aucun ellipsoïde. 



» En n'emj)loyant en effet qu'une partie de la proposition précédente, 

 on voit que les sphères passant par les trois cercles principaux et par un 

 point M de la surface des ondes vont se couper en un point P tel que, 

 O désignant le centre de la surface, l'angle MPO soit droit. 



» La surface des ondes nous apparaît ainsi comme un cas particulier de 

 la surface suivante. On considère dans l'espace trois cercles quelconques 

 (A), (B), (C) et un point quelconque O. On cherche le lieu (2S) des 

 points M jouissant de la propriété snivai»te : les sphères passant par les 

 trois cercles fixes (A), (B), (C) et par un point quelconque M du lieu vont 

 se couper en un serond point P tel que l'angle MPO soit droit. Ce lieu est 

 évidemment une surface : je vais d'abord montrer qu'on peut la construire 

 par points en employant seulement la règle et le compas. 



» Considérons, en effet, deux sphères quelconques passant par les 

 cercles (A) et (B); elles se coupent suivant un cercle (F). Je vais chercher 

 les points du lieu situés sur (F). Pour cela, je remarque que toute sphère 

 passant par le cercle (C) coupera le cercle (F) en deux points M et P, tels 

 que la droite MP aille concourir en un point fixe H. Si M est un point du 

 lieu, l'angle MPO, ou, ce qui est la même chose, l'angle HPO sera droit; le 

 point P devra donc se trouver sur la sphère décrite sur OH comme dia- 

 mètre. Il y aura donc deux positions pour le point P et, par conséquent, 

 aussi deux positions pour le point M. Cette construction, étant générale, 

 ne subit aucune modification dans le cas de la surface des ondes. 



