( 4/.7 ) 



» Il existe un cercle (K) qui rencontre les cercles (A), (B), (C) chacun 

 en deux points. Appelons centre radical de deux cercles le centre railical de 

 toutes les sphères passant par ces deux cercles. Le plan du cercle (K) est le 

 plan des centres radicaux des trois cercles (A), (B), (C) pris deux à deux. 



» La surface (2) contient le cercle (K). 



» Chacune des sphères passant par le cercle (R) et l'un des cercles (A), 

 (B), (C) coupe la surface suivant un nouveau cercle. On obtient ainsi trois 

 cercles (A'), (B'), (C). 



» La surface {!) est en général du cinquième ordre. Elle admet le cercle 

 de l'infini comme ligne double et elle coupe en outre le plan de l'iniini 

 suivant une droite qui est dans le plan perpendiculaire à la ligne OH, 

 H désignant le point de rencontre des plans des cercles (A), (B), (C). 



» La surface (2 ) se réduit au quatrième ordre : i° si les plans des cercles 

 (A), (B), (C) se coupent suivant une droite; 2° si le point O et le point H 

 coïni ident. J'examinerai spécialement ce dernier cas. 



» Alors la surface admet huit plans la coupant chacun suivant un cercle 

 et une conique. Ce sont le plan de l'infini, cou[)ant, suivant une conique et 

 le cercle de l'infini, les plans des cercles (R), (A), (Â'), (B), (B'), (C), (C). 

 Elle contient donc seize coniques, ce qui est d'autant plus remarquable 

 qu'elle n'a en général aucun point singulier. 



» Dans une j)remière étude sur les surfaces du quatrième ordre admet- 

 tant des coniques isolées, il m'a paru qu'il existe une surface du quatrième 

 ordre qui, sans avoir aucun point singulier, admet dix-huit plans tangents 

 quadruples et par conséquent trente-six coniques. 



» Il lésulte, on le voit, des recherches précédentes, que la surface des 

 ondes est une simple variété d'une surface du quatrième ordre n'ayant 

 aucun point singulier et contenant seize coniques isolées. 



B Je terminerai en ajoutant un petit complément à deux de mes Com- 

 munications antérieures. On sait que, si trois points d'une droite invariable 

 décrivent des plans rectangulaires, tout point de la droite décrit un ellip- 

 soïde. J'ajoute à ce théorème de Dupin que la droite, dam toutes ses 

 positions, demeure normale à une surface fixe dont les liyttes de courbure sont 

 algébriques. Cette surface est une variété des surfaces de quatrième classe, 

 considérées dans ma Communication du 3 janvier, et les surfaces dévelop- 

 pables formées par les normales en tous les points d'une ligne de courbure 

 sont tangentes à une suriace du second degré, comme cela a lieu d'ailleurs 

 pour les surfaces les plus générales de ce genre. 



» On voit que nous déterminons la surface sur les normales de laquelle 



