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les plans coortlonnés interceptent des segments de longueur donnée. 

 D'une manière générale, on peut toujoiirs obtenir, par de simples quadra- 

 tures, l'équation de la surface qui est définie par une relation quelconque 

 entre les trois longueurs des segments compris entre le pied de la normale 

 et les trois plans coordonnés, au moins quand ces trois plans sont rectan- 

 gulaires. En étudiant celte question, on est conduit à un théorème inté- 

 ressant : 



» S'il existe deux relations entre les longueurs des trois segments de la normale 

 compris entre le pied de celte normale et les trois plans coordonnes^ l'une de ces 

 relations est nécessairement la suivante : les segments de la nonnate complais 

 entre les trois plans coordonnés ont des rapports invariables. 



» Ce théorème se vérifie en partictdier pour la surface que nous venons 

 de considérer, et qui est normale à toutes les positions d'une droite inva- 

 riable dont trois points décrivent les plans coordonnés. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement du produit infini 

 (i — x)[\ — x-'\{i — x^)[i —'x'). . . . Note de M. J. Fraxklix, pré- 

 sentée par M. Hermite. 



« Euler a obtenu ce développement au moyen d'un arrangement spécial 

 des opérations de multiplication. Je vais obtenir le terme général comme 

 solution d'un problème de partitions. 



» Le coefficient de or" dans le développement est évidemment l'excès 

 du nombre de manières dont on peut décomposer w en un nombre pair 

 de parties entières et différentes sur le nombre de manières dont on peut 

 le décomposer en un nombre impair de telles parties; c'est donc cette dif- 

 férence qu'il faut trouver. 



D Je désignerai par [n) un nombre qui est > a. 



» Supposons que, dans chaque partition, les parties soient écrites en 

 ordre ascendant, et considérons une partition quelconque contenant 

 r nombres dont le premier est i. En effaçant le nombre i et augmentant 

 de l'unité le dernier nombre, on obtient une partition qui contient r — i 

 nombres dont le premier est (2) et qui n'a pas deux nombres con- 

 sécutifs à sa fin, et, réciproquement, de chaque partition qui contient 

 r — I nombres dont le premier est (2) et qui n'a pas deux nombres con- 

 sécutifs à sa fin, on obtient (eu diminuant le dernier nombre de l'unité 

 et mettant i devant le premier nombre) une partition contenant r nombres 

 dont le premier est i. Or, ces classes de partitions étant l'une d'ordre pair 



