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 et l'autre d'ordre impair, leur présence n'affecte pas la différence cherchée, 

 et nous n'avons à considérer qne les partitions commençant par (2) et 

 finissant par deux nombres consécutifs. Parmi ces partitions, considérons 

 tnie quelconque contenant r nombres dont le premier est 2; en effaçant 2 

 et augmentant de l'unité chacun des deux derniers nombres, on obtient 

 une partition qui contient /■ — 1 parties dont la première est (3) et qui n'a 

 pas trois nombres consécutifs à sa fin; et réciproquement. On peut donc 

 supprimer ces classes de partitions, et il ne faut considérer que les partitions 

 qui commencent par (3) et qui finissent par trois nombres consécutifs. En 

 continuant ainsi, il est évident qu'on éloignera pas à pas toutes les par- 

 titions, à moins qu'il n'y ait des cas dans lesquels le procédé indiqué ne 

 soit pas applicable. Considérons donc le cas général où les partitions à 

 considérer commencent par («) et finissent par n nombres consécutifs. 



» i" Si le premier nombre d'une partition est n, on doit effacer n et aug- 

 menter de l'unité chacun des n derniers nombres; cela peut se faire, à 

 moins que le nombre des parties ne soit exactement n. Dans ce cas, w est 

 la somme de n nombres consécutifs dont le premier est «, c'est-à-dire 

 « ( 3 « — 1 1 



» 1° Si le premier nombre est {n-\- \) et si la partition n'a pas n -l- i 

 nombres consécutifs à sa fin, on doit diminuer de l'unité chacun des n 

 derniers nombres et mettre le nombre n devant le premier nombre; rien 

 n'empêche d'opérer ainsi, à moins que le premier nombre ne soit n + i et 

 le nombre des parties exactement n (car alors la partition transformée con- 

 tiendrait deux fois le nombre 7i, ce qui n'est pas possible). Dans ce cas, 



n\Zn + I ] 



W = -^ • 



2 



» Nous avons donc démontré que les partitions d'ordre pair contre- 

 balancent exactement celles d'ordre impair, à moins que w ne soit de la 



r nl3n±i] . ., , , 



forme -^ , et que, dans ce cas, a restera, après toutes les suppressions 



possibles, une partition qui contient n parties. On a donc 



it — x){i-x''){f — x^){i-x')...=zl{-i)"x'' 



I — X — x^ -i- x'^ -h x'' — ar'^ 



» Tout ce qui précède peut s'exprimer plus brièvement comme il suit. 

 Etant donnée une partition quelconque (à parties inégales), écrite, comme 

 auparavant, en ordre ascendant, on peut appeler pardlion conjuguée celle 



