l'équation 



(•) 



( 5o7 ) 



V/R( 



S/R( 



ait ses intégrales algébriques; nous avons supposé, ce qui ne restreint en 

 rien la généralité du problème, que 



» Les périodes simultanées d'un système d'intégrales abéliennes nor- 

 males étant (') 



0, I, G', II, 



1, o. H, G, 



désignons par F,, F., et F, les expressions des trois modules /c^, l^ et /x^ par 

 des fonctions uniformes de G, H et G', de telle sorte que 



(2) A-^ = F,(G,H,G'), X= = F,(G,H,G'), pr = F,{G,U, G'), 

 ces fonctions n'étant d'ailleurs définies que si, g, h et g' désignant les coef- 

 ficients de \J— I dans G, H et G', la forme quadratique {g, h, g') est définie 

 et positive. 



» Avec ces notations, la solution du problème proposé est la suivante : 

 on doit donner à k^, \- et [j.^ des valeurs déterminées par les formules(2), 

 G, H et G' étant liées par la relation 



^ {mil'— mn') -t- [pm'— p'm)G'-\- [qm' — q'in + 7ip'—n'p)li 



\ +{n<j'-n'q)G-^{qp'-pq'){\r--GG') = o, 



m, II, p elq étant des entiers premiers entre eux ainsi que m', 71', p' et q , et 

 l'expression pn' — p' n -\- qm! — q'in étant différente de zéro. 



» Nous allons immédiatement transformer ce premier résultat. Rappe- 

 lons d'abord que les fonctions F,, F, et F3 ne changent pas quand on 

 remplace G, H, G' respectivement par 



rfè)oi+ {db].,^0 + i.{db]^.Jl + {db\,0'+ [db].,^{W-—GQ'] 



(3 



(«) 



{aè)o,-+-(a6)3,G + 2(a6)„,H-(-(«i)„,G' + («i)„(lP— GG')' 

 (arf)oi4- fg6?]3,G + [(af/)o3+ (f/^)ii] H -<- [ad]a,_G' + (af/),; ( H- — GG' 



(fl6)„,+ {/2i)3,G+ 2[uZ»)o3H-l- (a6)„2G'+(aZ/)23(U^— GG') 

 («c);„+ l^/c):,iG + 2(ac)o;,H + (ac)o,G'+(nc),3(H^-— GG') 

 (a6)(,i-)-(fl6)3,G4-2(a6)„3U + («6)o,G'+(«6)23(H'' — GG')' 



( ' I Dans la Note ra])pt'Ice, j'avais pris le système de périodes normales 



o iTzi la '2 '/ 



les notations que j'emploie maintenant sont prélérables pour la symétrie des calcids. 



