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 où l'on a posé, d'une iiiiinière générale, 



» Les rt, //, <; et f/sont des entiers vérifiant les relations 



I rt„c/, +/;„c, ~c\,b, —ft^a, = a^d^-i- boC.^ — Cob^ — doO.. — o, 



(4) j «of/n -t- /\c., — 6'„/->3 — ^/«(îa = a,d2~\-b,C2 — Cfb^ — d,a.2=^ i, 

 \ r/, r/.| + /;, C.J — c, b., — rf, «3 ^ «-j^^a + ^•j'-'a "- ^2^3 — d^cii =^ o, 



système qui a tait l'objet des recherches de M. Hermite an début de ses 

 études siu' la transformation des fonctions abéliennes [Comptes rendus , 

 1855). 



» Ceci pose, je montre que, pos;tnt a„ = in , a^^n\ 0.2=^ p'-, a^=^q\ on 

 peut trouver un système d'entiers [b, c, d) et un entier D, vérifiant les équa- 

 tions (4) et, de plus, les suivar.tes : 



l)r/„ — bg = i/.', Dd, — b,=^/i, Dc/o — h2=-p, Dd^ — b3 = fj, 



et l'on trouve 



ï)^^pti — pii-^qni — (j'in. 



» On voit qu'alors la relation (3) peut s'écrire 



(a6)„,+ («è)3iG + [(a^)o3-l-(n'!').i]H + (a6)„2G'-f-(fl6),3(H^-GG': "" D ' 



» Si dune, dans les équations (2), nous remplaçons G, H et G' respecti- 

 vement par les expressions (a), nous aurons, en désignant par m et v ce que 

 deviennent G et G', 



(5) A^ = F,(«,^,v-j, ),^ = F,(«,j:j, r), ur = ¥,(u,^,vy 



» On voit que ^•^, a" et a" dépendent de deux quantités arbitraires u 

 et V et d'un entier quelconque D : on doit nécessairement supposer que 

 dans u et c le coefficient de / est positif. 



» Telle est, sous sa forme la plus simple, la solution comj)lète du pro- 

 blème proposé: k^ , a^ et p.- ayant des expressions de cette forme, on pourra 

 trouver un polynôme du premier degréy^(a-) te! que l'équation (1) ait ses 

 intégrales algébriques. Il est même facile de voir que l'on pourra en trou- 



