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 ver deux. Soient, en effet, P(-x) el Q{x-) les intégrales normales ayant le 

 système de périodes 



"' i5' 



D 



/■-, ).' et ij,' .lyant par conséquent les valeurs (5), chacune des intégrales 

 P(a;) et Q(j:;) n'a que deux périodes et, par suite, les équations 



(61 P(ar,)4-P(a-,)=o et Q(^-,) +Q(a'2) = o 



ont leurs intégrales algébriques. 



» On voit donc que, si une intégrale abélienne de première espèce rela- 

 tive à un polvnùme R(x) a seulement deux périodes, il y aura nécessaire- 

 ment une seconde intégrale jouissant de la même propriété. 



)) Je vais maintenant établir que l'intégrale fiigébrique de l'une ou 



l'antre des équations (6) est donnée par une équfllïon algébrique de degré 



2D entre x^ + Xn et a;,a-„ (on peut toujours supposer D positif). J'envisage 



à cet effet le système 



P(a7,) -f- P(a-2) = o, 



q^x,) + çi[x^)=:z', 



on reconnaît que les expressions x^-\-Xz el x^X2 sont des fonctions dou- 

 blement périodiques de z aux périodes i et T)u, et l'étude de leur expres- 

 sion, fournie par l'inversion des deux équations précédentes, conduit sans 

 peine au résultat énoncé. Mais, à un degré donné d'une relation algébrique 

 devant fournir une intégrale de l'équation (i) correspondra nécessaire- 

 ment une relaiion algébrique entre Â,l et u., puisque toutes les opéra- 

 tions servant à trouver les divers coefficients sont évidemment algébriques. 

 Nous arrivons donc à la proposition suivante : Pour une valeur fixe 

 donnée à l'entier D, il existe entre les fonctions k-, Ir et p,^, définies par 

 les équations (5), une relation algébrique. 



» Je reviendrai, dans une autre occasion, sur ces sortes d'équations 

 modulaires et sur les fonctions A-, \- et [i? qui peuvent s'exprimer par des 

 fonctions rationnelles de fonctions d'une seule variable à ar'guments u 

 et V. » 



