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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — La formule d'interpolation île M. Hermite expri- 

 mée algébriquement. Note de M. E. Scueri.\g. (Exlr;iit d'une Lettre 

 adressée à M. Hermite.) 



« Vous avez donné, dans votre Lettre adressée à Borchardt, datée du 

 5 juillet 1877 (Borchardt, Journal, Bd. 84, p. 70), l'expression d'une 

 fonction algébrique, dont la valeur et celles de plusieurs de ses déri- 

 vées sont assignées. Cette expression contient une intégrale qui est aussi, 

 en forme généralisée, appliquée par M. Mittag-Leffler dans son jMénioire 

 imprimé dans les ^cla Socielatis Scienliarum fennicœ, t. XI, p. 280. Pour 

 obtenir une forme purement algébrique, j'apj)lique des fonctions que 

 l'on peut appeler Jonctions de contact d'une fonction donnée. Soit F(j:) une 

 fonction développable suivant les puissances descendantes et ascendantes 

 de j:' — a (ou de la valeiw réciproque de x) pour des valeurs du module de 

 [x — a) (ou du module de la valeur réciproque de x) qui ne possèdent 

 aucune limite inférieure assignable différente de zéro. 



(i) ¥{x)=^A^(x-af ou F(a')=^B^( 



J'applique la désignation 



(2) f[¥{x)\x-ci\n]^ ^A,.{x-ar, ||[f(x)|^|«] = ^ B„ 



où V signifie la valeur la plus grande que l'exposant ^z dans la série corres- 

 pondante (i) peut recevoir sans surpasser la valeur de n. l'ar exemple, si 

 les exposants p. sont des nombres entiers et si l'on a choisi ft entier non 

 inférieur à — M (ou à — tn), on aina v = «. Mais si n est moindre que 

 — M (ou que — m), la seconde partie de la première (ou de la seconde) 

 équation (2) devient ideuliciiicment zéro. 



» J'appelle cette fonction 11 dans le n" (2) la fonction de contact pour la 

 fonction T{x) et plus précisément celte fonction de contact qui .-ippartienl 

 à l'argument x — a (ou à l'argument de la valeur réciproque de x), aux 

 environs de la valeur a; = fl (ou de la valeur a: = oo ), et à l'ordre n. La 

 fonctioi! de contact 1) conserve son sens pour chaque valeur de x, excepté, 

 en quelque cas, pour x = a (ou .r = 20 ) et pour jr = 00 (ou x = o), pen- 



