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 dant que chacun des développements (i") peut n'être valable que sous des 

 conditions bien pbis restreintes. 



» ]je problème qui^ je me propose de résoudre ici est le suivant : Trou- 

 ver une fonction F(j:) uniforme, qui soit, développobte en série de puissances de 

 X' — rto pour (7 = 1,2, 3, . . ., ï, avec des exposants- entiers croissants, et qui 

 contienne dans chacune de ces séries les premiers termes donnés, savoir les termes 



(3) 2^ A^^^,{jc- — a^y- pour 7 = i , 2, 3, . . ., ^ 



OÙ /es A(j,ji soient des vakui s données arbitrairement jOii les a,, a 2, . .., Ug soient 

 des valeurs données différentes entre elles et oii les m^, rig soient des nombres en- 

 tiers donnés positifs ou nn/atifs ou zéro, soumi'> seulement à la condition que le 

 nombre i -i- /i„-\- m^des termes dans chacune des expressions (3) ne soit pas 

 moindre que l'unité. 



» Pour la solution de ce problème, j'emploie les fonctions 



(4) F^(j:)^ ^ A„,^(x-fl„)i*, a= 1,2,3, ...,<, 



dans lesquelles les valeurs des constantes Aa^^^ pour p. > n^ soient arbitraires, 

 mais permettent la convergence de la série (4) pour des valeurs assez petites 

 du module de (x — a^). Ensuile je mets 



(5) %{jc) =ll{x - a.y-"^ o,,^{œ), 



où les fonctions uniformes arbitraiies 9<jp [a-) ne s'annulent pour aucune 

 des valeurs a,, a.,, ..., a„ et soient développables suivant des puissances 

 de chaque [œ — a^) avec des exposants non négatifs, pour des valeurs assez 

 petites du module de {x — a^). I>a forme générale de la fonction F(x) à 

 trouver est la suivante : 



(6) F{œ) = ^^4x)\f['^^\cc-a,\^i]+^^ 



X] 



où les fonctions uniformes arbilniires f ^(a-) sont développables suivant 

 les puissances de chaque (x — a/) avec des exposants non négatifs pour 

 des valeurs assez petites du module de {x — n^). 



