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» Si l'on met tontes les fonctions (p^^^^ac) = t, 4'c('^) =o» la fonction 

 F(j:) de la solution (6) f!u problème deviendra la fonction nlgébrique la 

 plus simple po>sibIe, c'est-à-dire la fonction rationnelle algébrique, dont 

 le dénominateur possède le ujoindre degré, et, parmi les fonctions d'un tel 

 dénominateur, elle sera celle dont le numérateur possédera le moindre 

 degré. 



» La solution du n" (6). pour ce cas, peut être regardée comme une 

 application de la partition d'inie fonction rationmlle en fractions partielles. 

 En effet, si R(.r) est une fonction uniforme qui ne devient infinie que pour 

 les pôles différents entre eux co ^ a,, a^, ■ ■ -, n^ et en nombre fini, la fonc- 

 tion R(a;) sera 



B.{x) = ^\w(.t) -loi 4- y |irRf.r)|.r-r/,I-i]. 



» L'algorithme que l'on applique pour trouver celto fonction algé- 

 brique entière du plus haut degré, laquelle divise deux fonctions enlières 

 algébriques données Q,(j:') et Q2(-^), peut être représenté sous la forme 



Q„-,(^^-Q«(-^)f[~^|,:;;|o]+-Q„_.(.rl pour n = a, 3, /, 



Un tel algorithme sert à la solution de l'équation 



h{x)V[.T) -t- V,{x)q{x) -^ A(.r)B(.r)S(x) = C'.r), 



où les A(jt), B(x), C{x) désignent des fonctions entières algébriques don- 

 nées et où les P(.x), Q(x), S(.r) désignent les fonctions entières algébri- 

 ques du moindre degré possible à chercher. Si les valeurs de jr, qui annulent 

 les deux fonctions A (.r) et B(.r)soiit données, la solution de la dernière 

 équation peut être représentée sous la forme suivante : désignant parD(x) 

 la fonction entière du plus haut degré, qui divise la fonction A(.r) et la 

 fonciion B(^), désignant de plus par <7,, rto, ...,«« 'es valeurs différentes 

 entre elles qui annulent le quotient de la fonction A(.r) divisée par D(a:), 

 désignant enfin par h^^h^, •••, ^p les valeurs différentes entre elles qui 

 annulent le quotient de la fonciion B( r) divisée par Ti[x), on aura 



''-^[r^ 



- I o 



Q = ÊS»>(Si— !-)• ^ = 5ll«( 



'Cf) 

 AB 



-)• 



