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 où, pour les fonctions A, B, C, D, P, Q, S, la variable x est omise pour 

 abréger. 



» Mes recherches sur la théorie ouverte par M. Weierstrass dans son 

 Mémoire (dont la traduction faite par M. Picard se trouve dans les Anncdts 

 (le l'Ecole Aonnale siipétieure, IP série, t. VIII, p^ iii) Sur les fom lions 

 analytiques uniformes^ et poursuivie par M. Mittag-Lelfler dans la Lettre 

 qu'il vous a adressée (imprimée dans le Bulletin des Sciences matliénia- 

 ticjues et astronomiques, iS'yg, IP série, t. III), m'ont donné bien des fois 

 l'occasion d'appliquer les fonctions de contact. » 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur une raison générale, propre à justifier syn- 

 tltvtiquenient l'emploi des divers développements de Jonctions arbitraires 

 usités en Physique mathématique. Note de M. J. Boussixesq, présentée 

 par M. de Saint-Venant. 



« On sait dans quel but important les géomètres qui s'occupent de Phy- 

 sique mathématique se proposent de partager une fonction arbitraire, f, 

 d'une ou de plusieurs coordonnées jc, j, z, donnée entre certaines limites, 

 en une infinité de termes dont la forme est déterminée par la nature de la 

 (piestion, termes qui varient d'autant plus vite avec x, y, z qu'on les prend 

 plus éloignés dans la série, et dont les coefficients, seuls disponibles, se 

 calculent par le procédé classique de Fourier. Si l'on suppose, par exemple, 

 que le temps t soit la variable principale du problème, le but de ces géo- 

 mètres est de dédoubler ou décomposer un étal initial arbitraire, exprimé 

 \)Avf[x, )',z), en une suite d'états initiaux dits simples, pour lesquels l'in- 

 tégration des équations du problème est immédiate; en sorte que (les effets 

 d'un nombre quelconque d'états initiaux pouvant d'ailleurs se superposer) 

 l'intégration générale se trouvera effectuée si cette sorte complexe de dé- 

 doublement de l'état initial est possible. Pour démontrer analytiquement 

 qu'il l'est en effet, une sommation directe des séries qui l'expriment semble 

 nécessaire. Malheureusement, cette sommation n'a pu encore aboutir, 

 excepté dans des cas très particuliers. Il y a donc lieu de chercher, en 

 attendant, quelque aperçu synthétique, ou, pour ainsi dire, quelque raison 

 de bon sens, propre à justifier ces modes indispensables de développement 

 et à expliquer la convergence qu'on leur a effectivement reconnue quand 

 on en a tenté le calcul numérique. 



M La raison désirée se trouve dans le double fait qui constitue le carac- 

 tère coiimiun de toutes les questions de Physique mathématique étudiées 



c. R., 1881, I" Semestre. (T. XCll, N» 10) ^^ 



