( 552 ) 

 Dans les travaux dont la théorie générale des équations diffère» lielles 

 linéaires a été récemment l'objet, on a eu principalement en vue d'obtenir 

 l'intégrale dans les cas où elle peut s'exprimer par des fonctions uniformes 

 de la variable. Les belles découvertes de M. Fuclis, qui ont joué le principal 

 rôle dans ces recherches, servent également de base pour l'étude plus pro- 

 fonde et plus difficile entreprise par l'auteur du Mémoire n" 1, portant 

 pour épigraphe : « C'est ici un livre de bonne foi, lecteur. )ii II part de ce fait 

 que la transformée d'une équation différentielle linéaire obtenue en substi- 

 tuant à la variable indépendante une fonction quelconque d'une nouvelle 

 variable est une équation linéaire de même ordre, et qu'il en est de niènie 

 si l'on multiplie l'inconnue par une seconde fonction arbitraire de cette 

 nouvelle variable. Cela étant, l'auteur se propose de déterminer ces deux 

 fonctions, de manière que l'équation transformée soit à coefficients con- 

 stants, ou bien soit inlégrable au moyen de fonctions uniformes, simple- 

 ment rationnelles ou doublement périodiques. Ces questions sont, comme 

 on voit, aussi importantes que difficiles; la solution complète et générale 

 qui est exposée dans le Mémoire montre un talent mathématique de 

 l'ordre le plus élevé. Rien n'est plus intéressant que de voir s'introduire 

 dans cette recherche de Calcul intégral les notions algébriques d'invariants 

 qui ont pris naissance dans la théorie des formes, et ces nouvelles combi- 

 naisons faire apparaître les éléments cachés dont dépend, sous ses diverses 

 formes analytiques, l'intégration d'une équation donnée. C'est à M.Laguerre 

 qu'est due l'idée ingénieuse et profonde des invariants et covariants des 

 équations différentielles linéaires; il en a tiré pour les équations du troi- 

 sième et du quatrième ordre plusieurs beaux théorèmes, et M.Brioschis'est 

 aussi occupé avec succès du même sujet; mais l'auteur du Mémoire que 

 nous analysons en a encore mieux fait ressortir toute l'importance. Il y 

 joint une considération qui joue également dans ses recherches un rôle 

 essentiel : c'est celle du genre d'une équation algébrique entre deux va- 

 riables, introduite en Analyse par Riemann et qui est si souvent employée 

 dans les travaux de notre époque. Des applications exposées avec tous les 

 détails nécessaires offrent un grand nombre de résultats entièrement nou- 

 veaux et du plus haut intéièt. Nous nous bornons à citer comme particulière- 

 ment remarquables des équations du troisième et du quatrième ordre con- 

 tenant im paramètre arbitraire, puis d'autres d'ordre impair se rattachant 

 à la division de l'argument dans les fonctions elliptiques, dont la solution, 

 qui n'est pas une fonction uniforme, est obtenue par ces transcendantes. 

 Nous jugeons que ce Mémoire a ajouté à la théorie des équations différeii- 



