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 belles recherches de MM. Klein et Lie, les lignes asymptotiques de la sur- 

 face. Quant aux quantités y^, on peut les remplacer par les six fonctions 

 doubles à caractéristique impaire qui leur sont proportionnelles. Les 

 coordonnées d'un point de la surface s'expriment donc rationnellement au 

 moyen de ces six fonctions; c'est là le fait important mis en lumière par 

 M.Klein et qui est analogue à la proposition que j'avais déjà fait connaître 

 dans cet ordre de recherches, relativement à la surface générale du troisième 

 ordre. 



» M. Klein s'est borné aux indications qui précèdent; il restait à obtenir 

 d'une manière effective les expressions des coordonnées. C'est en effec- 

 tuant cette recherche que j'ai obtenu le résultat suivant, qui vient complé- 

 ter la méthode précédente : Poui^ obtenir^ les expressions des cooi données , il 

 suffira d'égaler les dix Jonctions (A) aux dix fondions Q à caractéristique 

 paire, prises dans un ordre convenable et multipliées par des constantes. Une 

 fois les fonctions (A) connues, on peut obtenir de bien des manières 

 les rapports de jc,/, z, ^; le problème que je m'étais proposé est donc 

 résolu. 



» Dans la représentation de M. Cayley, les courbes j5 = const., p, = const. 

 sont des sections planes dont les plans passent par un des points singuliers 

 et y enveloppent le cône des tangentes en ce point. On peut obtenir seize 

 représentations de ce genre. On les déduira de la précédente par la bissection 

 des fonctions hyperelliptiques. 



» Après avoir donné une idée nécessairement un peu incomplète de la 

 méthode que j'ai suivie, je ferai connaître, en terminant, quelques-uns des 

 résultats auxquels elle m'a conduit. 



» Il existe trente systèmes de quadriques admettant pour enveloppe la 

 surface de Rummer. Les surfaces de chacun de ces systèmes passent par 

 huit points singuliers et sont tangentes à huit plans singuliers. A chacun 

 des systèmes correspondent quatre équations irrationnelles de la surface, 

 ce qui donne en tout les cent vingt équations irrationnelles de M. Weber. 

 A chacun des systèmes précédents on peut en associer un autre qui est 

 formé de surfaces ne passant pas par les points singuliers couununs aux 

 surfaces du premier système (' ). 



(') Ce mode d'association Jes systèmes a déjà été signalé, pour ce qui concerne les 

 droites d'un système de rayons rectiliynes du second degré et de seconde classe, par 

 M. Caporali, dans un travail sur les complexes du second degré, inséré dans les Jui de 

 l'Académie royale des Lincei de 1878. 



