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 » 2° Supposons ensuite que l'on puisse trouver un entier positif m tel 

 que la série dont le terme général est |/3„— Rj'" soit convergente; on pourra 

 prendre, alors 



où 



f /-N_ A„-B„ I (A„-B„)^ , I (A„-B„)"— 



» 3° Enfin, dans le cas le plus général, sans faire aucune hypothèse parti- 

 culière, on pourra prendre 



"a 



où 



p /-N_ A„-B„ I (A„-B„)^ ^ , I (A ^-B,,)"-' 



^"^^^ 2-B„ "^2 (:-B„)^ ■ " ' «-I (:;_B„)«-'' 



» Si l'on fait dans ces calculs R = o, on retombe sur les formes données 

 par M. Weierstrass. 



» On voit que, dans les expressions précédentes, à une racine A„ on fait 

 correspondre un point B„ du cercle, tel quelim |A„— B„| = o pour n infini. 

 Nous avons choisi plus haut B„ = Re'""; mais ce choix peut évidemment 

 être fait d'une infinité de manières, et l'on peut, suivant lui, obtenir des 

 résultats de formes très diverses. 



» Je donnerai un exemple d'un autre choix des quantités B„ en traitant 

 la question dans le cas où l'expression générale des racines est 



« + <■/•+- [b — c)i 



a, bf c, d étant quatre entiers réels satisfaisant à la relation ad — hc ^= i ; 

 on a ici R = I. 

 » Nous prendrons 



d -1- bi 



et l'on aura 



lA-Bl 



y/(6«+rf*)^a'^+ è" + c« + rf-'' -f 2) 



» La série multiple dont le terme général est ] A — B |^, a, h, c, d pouvant 

 prendre toutes les valeurs entières possibles satisfaisant à la relation 

 ad — bc ^ I, est convergente : c'est ce que l'on reconnaît en considérant 



