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(lie 2r-fach j>eriodischen Functionen x)onr. Verdnderiichen [Journal de Crelle, 

 t. 89)]. Pour constater ces propriétés de l'intégrale générale, on pourra, par 

 exemple, former les deux équations différentielles linéaires du quatrième 

 ordre à une variable indépendante auxquelles satisfait respectivement s, 

 considéré comme fonction de x seul ou de j- seul, et l'on appliquera à ces 

 équations les méthodes de M. Fuchs. 



" Cela posé, soit F{x,j) une fonction intégrale des équations (f); les 

 fonctions 



F(x-+ a,,j + jS,), F(x -I- «o.r-l-iSoS 



F{x-^-a,,J + [i,), F(x + a,,j + |5,) 

 sont aussi des intégrales, et l'on a 



(2) yA^Ffx + Aa,, / + >?-• fi, ) = o, 



les Aa étant des constantes. Si, alors, on pose 



cette fonction i\(x,j') est encore une intégrale, et l'on pourra toujours 

 déterminer les constantes X^ de façon que l'on ait 



p., étant un facteur constant. Prenant alors la fonction ^,[x,j-) pour 

 fonction intégrale, on lui appliquera, à l'égard du second couple de pé- 

 riodes c, et |3o, le raisonnement précédent, et l'on formera une intégrale 

 ^^i^, 7) telle que 



$, (x + a,,7 4-|3|) = p.,<I)2(a7, j), (I)2(x-(-a2,/ + /3o') — ^..^..{x, j-). 



On prendra alors ^^(x, j-) pour fonction intégrale, et, en continuant de 

 cette façon, on obtiendra finalement une fonction intégrale <I>(x, j) telle 

 que 



$(x-f-a,-, 74- p,) = iJ.i^{x,y) (i= r,2,?), 4). 



» Imaginons, en particulier, que les périodes «,• et |3; soient les périodes 

 normales d'intégrales abéliennes normales de première espèce relatives à 



C. R., 1881, I" Semestre. (T. XCll, N" 12.) 02 



