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 une courbe algébrique du genre 2 : 



(3) 



a, = 271?, p, = o 



«2 =0, /3o= 2 m 



«3 = 20,1, P3~2fl,: 



«4 = 2«2(> /34 =^ 2^2: 



rt. 



et soit 0(a7, 7") une des fonctions de deux variables correspondantes. Si 

 l'on fait 





on pourra déterminer les constantes h^, /i,, g,, go de manière que le rap- 

 port — T^^T soit une fonction uniforme de a: et j possédant les couples de 



périodes (3) et n'ayant à distance, finie aucun point singulier essentiel. Or, 

 une pareille fonction est une fonction abélienne et peut s'exprimer à l'aide 

 des fonctions 0. Dans ce cas, l'intégrale 0(j:,^) peut donc être formée au 

 moyen de fonctions 0. On n'a plus ici, comme dans le cas des fonctions 

 doublement périodiques de seconde espèce, la ressource d'une décompo- 

 sition en éléments simples pour faciliter la détermination de cette inté- 

 grale. 



» Mais il est un autre cas particulier où il existe une pareille décompo- 

 sition : c'est lorsque les quatre couples de périodes satisfont aux conditions 

 «3 = «4 = o, l'j, = fi.2 = o. Dans ce cas, les coefficients fi, et bj des équa- 

 tions (i) sont des fonctions doublement périodiques de a: aux périodes a, et 

 «2 et de j- aux périodes ^3 et p^, et l'expression de l'intégrale <I)(a7,jr) 

 s'obtiendra à l'aide de fonctions 6 d'une variable. Du reste, on pourra, 

 dans ce cas, appliquer la méthode de M. Picard aux équations différen- 

 tielles linéaires du quatrième ordre auxquelles satisfait z, considéré comme 

 fonction d'une seule variable x ouj^, car les coefficients de ces équations 

 sont alors des fonctions uniformes doublement périodiques de cette seule 

 variable. 



» Les raisonnements et les résultats précédents s'étendent facilement 

 à des équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles 

 pouvant se ramener à des équations linéaires simultanées aux différen- 

 tielles totales de la forme 



dzi={ai,z, +. . .-i-a,„z„)dx, -\-.. .-^ (/,-,Z| +. . + linZn)dXp, 



