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ANALYSE MATHÉMATIQUE. —Solution d'un problème général sur les séries. 



Note de M. D. André. 



" I.e problème que je me suis proposé peut s'énoncer ainsi : 

 » Étant donnée une série convenjente 



ordonnée suivant les puissances ascendantes d'une variable x, on en multiplie 

 tous les termes par les termes de mêmes rancjs d'une série récurrente proprement 

 dite 



est convergente, et l'on demande d'exprimer la somme de cette dernière série (3) 

 en fonction de la somme de la série primitive (1). 



» Ce problème est très général, car, en dehors des hypothèses faites sur 

 la convergence des séries (i) et (3), rien n'y particularise ni la série pri- 

 milive(i) ni la série récurrente (a), dont les termes servent de multiplica- 

 teurs. J'ai déjà, à plusieurs reprises, étudié ce problème. Je l'ai résolu, 

 par des moyens divers, dans trois cas particuliers ('). Récemment, par un 

 moyen unique et plus simple que tous ceux que j'avais auparavant em- 

 ployés, je suis parvenu à le résoudre dans sa pleine généralité. C'est la so- 

 lution générale que j'ai obtenue que je vais exposer dans la présente Note. 



» Mais, d'abord, je dois rappeler l'expression du terme général i>,^ de la 

 série récurrente considérée. Si l'on désigne par r l'une quelconque des ra- 

 cines de l'équation génératrice de cette série récurrente et par p le degré 

 de multiplicité de cette racine, ce ferme général p^ est déterminé par l'éga- 

 lité 



dans laquelle le signe 2 s'étend à toutes les racines de l'équation généra- 

 trice, et où £,(«) représente un polynôme entier en n, correspondant à la 

 racine r, du degré p — i, que nous pouvons supposer donné sous cette 



(') Comptex rendus, S(!'ances tk's 22 avril 1878, iG décombre 1878, 7 avril 1879. 



