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 forme 



Hr(«) = P^,o+ 1^,1" -+- Vr,2n--+...-h Pr,p_,«P~'. 



» Cela étant, i! est clair que la série (3) est la somme de plusieurs séries 

 partielles qui correspondent respectivement aux diverses racines de l'équa- 

 tion génératrice. Si donc nous appelons F(.r) la somme de la série (3) et 

 <ï>r(<^) celle de la série partielle qui correspond à la racine r, nous avons, en 

 étendant encore le signe 2 à toutes les racines de l'équation génératrice, 



(4) F{x) = l^,{x), 



et tout le problème est ramené à la détermination de ^^i^)- 



» Cette détermination est facile. En effet, si l'on désigne pary(a;) la somme 

 de la série primitive (i), que l'on représente par f[a:), f"[oc), f'\x). ., 

 les dérivées successives de la fonction J{x) \ enfin que l'on pose 



h\qr.k = A'-o'T,,;, + A'-o^-* P,.,^, -f . . . + A"oP-'P,.p_,, 



on a identiquement 



» Cette formule, jointe à celle (4) qui précède, nous fait connaître l'ex- 

 pression de F(jr); elle résout le problème que je m'étais proposé, et l'on 

 voit qu'elle le résout dans toute sa généralité. « 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires 

 à intégrales alijébriques. Note de M. H. Poixc\ré. 



« Pour rechercher quelles sont les équations différentielles linéaires 

 dont toutes les intégrales sont algébriques, il faut d'abord déterminer les 

 groupes de substitutions linéaires qui ne se composent que d'un nombre 

 fini de substitutions. Dans un travail inséré dans les Mémoires de l'Académie 

 de Naples, M. Jordan donne une méthode générale pour résoudre ce pro- 

 blème, et il applique sa méthode aux équations des quatre premiers 

 ordres. Connaissant ces groupes de substitutions linéaires en nombre fini, 

 il faut ensuite former les équations différentielles correspondantes. 

 M. Jordan insiste peu sur ce point. Je désirerais attirer l'attention sur 

 quelques propriétés de ces équations. 



» Bornons-nous au troisième ordre, pour fixer les idées. Envisageons 



