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» Posons, pour abréger, 



le déterminant 



D„ 



"'iPi' 



m, p., 





m^pi *' I 



D 

 D, 

 D 



"hP\ 



><tilh' 



'"sPi 



D 

 D 

 D 



m,p^ ••'3 





ne changera pas quand on changera ^ el vj en ç, et yj,, et sera par consé- 

 quent une fonction rationnelle de x et de y. 

 » Il en résulte que 



sont trois intégrales particulières d'une infinité d'équations aux différences 

 partielles à coefficients rationnels. Ces équations s'écrivent 



(0 





'2P2' 



/n,p, -I 



/n^p,"! 



D 



"'sPi 



D 



'"iPi^'i 



"iiPt^ ^'"iPt^i 



D 



D 

 D 



">ip,^2 



"hPs 





D 

 D, 

 D 



m2P2^3 



D/n, p, Z3 



= O. 



m^, [j,, ??i2, ^2) "^3* Pa, '«4) p.: sont des entiers positifs quelconques -, il est 

 clair que les coefficients des différentes dérivées partielles de z sont ration- 

 nels en X et en jr. Si l'on fait, en particulier, dans l'équation (i). 



m, = o. 



elle prendra la forme 



ITln 



m 



m. 



Pi = 0, 



P2= O, 



= 2, ^3=0, 



--■■ 3, p, 



o, 



_ rf' 3 ^ d-z -r^ dz _ 



» Les B seront des polynômes entiers en x et j-. Si l'on donne à j une 

 valeur constante quelconque, on obtiendra une équation linéaire du troi- 

 sième ordre, dont tous les coefficients seront rationnels et dont les inté- 

 grales seront les fonctions algébriques z,, Zo, Zg. 



» Conséquence. — A chacun des groupes définis par M. Jordan, corres- 

 pondent une infinité d'équations linéaires du second ordre. Dans cha- 

 cune de ces équations, les coefficients sont rationnels par rapport à la 



