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 » J'envisage la forme 



F(a-,, JT,, .. .,x„,) = {x, -+- JT.a, 4-.r3a^ + ...-f- x,„«™"') 

 X {x, -h x^cfi^- ---i- x„al'~').., 

 X {x, -+- x.a„,-h . . .-h x,„a'"-''}, 



et je cherche des nombres entiers j3,, ^j^, . . ., /3,„ tels que 



F(,S,,|3„..., p,„) = N, 

 N étant un entier donné. 



» Je montre que ce problème (grâce aux travaux de MM. Hermile et 

 Dedekind) se ramène au suivant : Former Ions les iiomhres complexes idéaux 

 de norme N. Pour résoudre ce nouveau problème, je fais voir qu'il suffit 

 d'étudier les diverses congruences 



x'" — A,„_,x'" ' 4- A,„^2X'"-- — . ..±A,xzç Afl^E o (mod. [j.], 



où [X est un diviseur quelconque de N. 



» Incidemment, je montre quelle est la manière de former tous les 

 idéaux premiers et leurs puissances, de multiplier entre eux deux idéaux, 

 de décomposer un idéal en facteurs premiers, etc. 



» 2. J'envisage urte forme binaire quelconque 



F{x, j) = B,„.r"' + B,„_,x'"*y-h.. .+ B,.rr'"-' -I- Kf", 



et je me propose de trouver deux entiers a et h tels que F(n, Z») — N. 

 » Soit 



<i>{x, y) = x"'+ B,„_, jr'"-' j 



-I- B,„B„,_,^'"-vT- +. . .+ Br'B.o:/'"-' + B:r' B„ j'". 



j) S'il existe deux entiers A. et B tels que 'I>( A, B) i= NB"f ', si A = «B,„, 



a étant un entier, on aura 



F(rt, B)=N. 



» D'ailleurs, on obtiendra de la sorte toutes les représentations de N 

 par F. Le problème de la représentalion des nombres par une forme 

 binaire quelconque est donc ramené à celui de la représentation des 

 nombres par les formes telles que $, c'est-à-dire par les formes binaires 

 dont le premier coefficient est l'unité. 



» 3. Soit 



$(.r, ;-) = x'"-{- ^,„_^x'"-^J + .. . + A,.t/"-' + Aoj'" 

 = (a^+ a|j)(.r-f-5;2j)...(.r-t-«,„r). 



