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 il existe encore une autre classe d'équations, dont l'intégration directe est 

 tout aussi aisée. 



» Soient V z= a x -h b , Q = a'j:-\-b' deux binômes du premier degré, /^, 



X', ... des constantes, ainsi que B, C, Les équations dont je veux parler 



ici contiennent un nombre quelconque de termes ayant la forme suivante : 



^ ' ^ d.K" ^ dx'' 



» Un fait digne de remarque consiste en ce que les constantes h, k, ... 

 peuvent être modifiées à volonté, sans que l'équation soit changée, pourvu 

 qu'on modifie en même temps, d'une manière convenable, les coefficients 



B, C, ....Ou peut, par exemple, prendre /z = 4^«, A" = ip, L'équation (2) 



revêt alors la forme équivalente que voici, où, en place de P, Q, s'offre un 

 trinôme R = \x- -hij.x-hv : 





+ ... = 0. 



» Pour mettre ces diverses circonstances en évidence, envisageons la 

 fonction 



(4) H = {ax-hbf[a'x + h')"-'-^, 



où n est un nombre entier positif. On démontre aisément la formule 



(5) 'l^=^{p-i)...{fi-n-h})[ab'~ba')"[ax + bf-"{a'x+b')-'-K 



» Désignons, comme ci-dessus, par P, Q les deux binômes et posons 

 ^r^P^Q-'-". Le produit p^Qn-^^- prend alors la forme (4)> et, d'après (5), 

 on trouve 



Pareille substitution étant faite dans les divers termes de (2), le produit 

 paQ-i-a gg {pouve facteur commun, et l'on est conduit à déterminer a par 

 l'équation 



j . . .?j{ab' — ba')"{<x -h h){a -h h — i) . . .{a. -i- h — fi -i- 1) 

 ^ '^ j -hC{ab'—(m'f{a + /,-}{c/.-hk — i)...{a-hf^-p-hi)-h... = o. 



