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» Les, Iron fonctions ainsi définies sont syiiectiques dans In région de rj. Elles 

 ont pour uniques zéros, tous simples, les diverses valeurs de yj qui correspondent 

 respectivement à a7 = o, i, co . Elles satisfont (par construction) à l'iden- 

 tité [2) et Journissent les intégrales de (i) suivant les formules (3), (4)- 



» Ce qu'il importe de savoir, c'est la nature des développements dont 

 ces fonctions sont susceptibles dans toute la région de vî- A cet effet, il 

 faut connaître la nature de cette région. Or, le problème qui se pose ici se 

 résout très aisément grâce aux travaux antérieurs de Riemann, de Kuni- 

 meret de M. Schliifli. 



» Les valeurs de vj, qui répondent à une valeur de x, dérivent les unes 

 des autres par une série de substitutions linéaires. Je trouve dans le Mé- 

 moire de M. Schliini [Math. Jnnalen, t. 111) tous les éléments nécessaires 

 à la formation de ce groupe. Il y va figurer la fonction gamma pour chacun 



des huit arguments - |i rt - ± ^ zt -^ ] , et j'écrirai, pour abréger, 



n 



^ ' 2 |_ m n P A 



» Le groupe dont il s'agit dérive de trois substitutions 



■ri'=e'^-n, Ç'==e^Ç, ^'^e^S, 

 où Ç, I sont les fonctions linéaires de vj que voici : 



Ç = 



ri_lj(ooo)(o,o)„ + r^^^ 

 ^j(iool(tio)„ + rQ 



- 000 100 » -I- r 



r(— -|(oio)(iio).7 + r(-j(oii)(iii) 



Ces trois substitutions, et par suite toutes celles du groupe, laissent inal- 

 téré, comme on le prouve facilement, le cercle (R) ayant l'origine pour 

 centre et dont le rayon R est donné ainsi : 



001 01 I lOI III 



[oooj [010] (looj (1 10) 

 Ce résultat permet de prouver que la région de r} est limitée par le cercle (R). 



