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 Donc /c>.s' Joiiriions X, Y, Z io;/( dévetoppables à imlcrieur de ce cercle suivant 

 les puissances croissantes de rj. Ces dcveloppeaients ont les formes suivantes : 



x(>7)=(-ir+«,vî'- 



Y(y3)=i +b,-n'' 



Ils peuvent être calculés, terme par terme, au moyen des formules (5) 

 et (6). Ils sont propres à représenter toutes les valeurs de x. 



» Dans une prochaine Communication, je dirai quelles sont les pro- 

 priétés et quel usage on peut f;iire de ces nouvelles fonctions, comment on 

 peut encore les généraliser en prenant pour point de départ d'autres 

 équations linéaires du second ordre; je montrerai aussi les liens intimes 

 qui luiissent mes recherches à celles dont M. Poincaré a donné un ré- 

 sumé si remarquable dans des Communications récentes (i4 et ai fé- 

 vrier). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une nouvelle application et quelques propriétés 

 importantes des fonctions fiiclisiennes. Note de M. H. Poixcaré. 



« Considérons un groupe fuchsien G quelconque et les différentes fonc- 

 tions fuchsiennes qui correspondent à ce groupe. Je suppose que G soit tel 

 que toutes ces fonctions fuchsiennes n'existent qu'à l'intérieur du cercle 

 fondamental. Toutes ces fonctions fuchsiennes seront liées par des équations 

 algébriques et seront fonctions rationnelles de deux d'entre elles, que 

 j'appellerai x et y, et entre lesquelles il y aura une relation algébrique 



(') /(^,7) = o- 



« Si l'on pose 



(2 étant l'argument des fonctions fuchsiennes), t^ et ^„ seront les intégrales 

 d'une équation linéaire 



(2) ^s = <P(^»j)^ 



y étant rationnel en x et y. 



» Envisageons une intégrale abélienne de première espèce 



u[x,y). 



