{ 86o ) 

 Remplaçons-y x et / par leurs valeurs en fonclion de s ; m deviendra 

 holomorphe en z et pourra, par conséquent, être représentéà l'intérieur du 

 cercle fondamental par une série ordonnée suivant les puissances de z. 

 L'emploi des fonctions fuchsiennes nous donne donc l'intégrale u sous la 

 forme suivante, 



« = 9,(z), ^ = '^' 



ô,, 5o, 03 étant des séries ordonnées suivant les puissances de z et toujours 

 convergentes. 



» Quand z subit une opération quelconque du groupe G, le point [x, y) 

 décrit un cycle, et, par conséquent, u augmente d'une période. Consi- 

 dérons le groupe des opérations qui consistent à augmenter u d'une pé- 

 riode. Ce groupe, d'après ce qui précède, devra être isomorphe au groupe G. 



» Sij par conséquent, le groupe G est dérivé de moins de 2p -+-2 opérations, 

 l'intégi-ate u ne pourra avoir a/j +2 périodes distinctes, et, par conséquent j la 

 relation (1) sera au plus du genre p. 



» Cette limite peut, le plus souvent, être abaissée, car, pour que l'iso- 

 morphisme dont j'ai parlé plus haut puisse avoir lieu, il faut, dans cer- 

 tains cas, qu'il y ait entre les périodes de u certaines relations linéaires, de 

 sorte que ces périodes cessent d'être distinctes. 



» C'est ainsi que la relation (i) peut être du genre zéro, bien que le 

 groupe G soit dérivé d'un nombre quelconque d'opérations. 



') Par conséquent, les fonctions fuchsiennes permettent d'intégrer une 

 infinité d'équations telles que (2), où 9 est rationnel en x, et non plus seu- 

 lement en oc et en j; bien que ces équations présentent un nombre quel- 

 conque de points singuliers. 



M Ainsi, si «, b, c et les coefficients sont convenablement choisis, si la 



différence des racines des équations déterminantes relatives à chacun des 



points singuliers 



a, b, c, » 



est une partie aliquote de l'unité, l'équation 



dx- 



r A A' B B' C _C;_ 1 



'■7[j^j;^aY'^ x-a^ [x-bY'^ x-b^ [x-cf'^ x-c\ 



est intégrable à l'aide des équations fuchsiennes. 



» Je citerai aussi, parmi les équations intégrables à l'aide des fonctions 

 fuchsiennes, certaines équations à coefficients doublement périodiques. 

 M. Picard a démontré que ces équations s'intégraient par les fonctions 



