( l)'4 ) 



l'équation linéaire 



(-) 



qui a pour intégrales 



= o. 



(,, z = t,, 



t., 



a ses coefficients algébriques en x el en j. 



» Les fonctions abéliennes F et F, permettent donc d'intégrer une infi- 

 nité d'équations différentielles linéaires du troisième ordre à coefficients 

 algébriques, car l'équation (i) contient un paramètre arbitraire j' et l'é- 

 quation (2) en contient trois, rt, b et j. 



» On pourrait se proposer de former toutes les équations à coefficients 

 rationnels qui peuvent s'intégrer par ce procédé, mais ce problème nous 

 entraînerait bien loin; je me bornerai donc à former les groupes de ces 

 équations. Voici ce que j'entends par là. 



» Le groupe de l'équation proposée sera le groupe des substitutions 

 linéaires que subissent les intégrales quand x décrit un contour quel- 

 conque, et celles de ces transformations qui correspondent à un contour 

 infiniment petit décrit autour d'un point singulier formeront la base'du 

 groupe. On arrive ainsi aux résultats suivants : 



)) Premier cas ^ équations {\). — Soient u,, lu, u^ les trois intégrales, et 

 supposons qu'on ait convenablement choisi u^ ; les opérations qui formeront 

 la base du groupe G cherché seront de la forme 



7' "3, 



a,u, + (i'.ii.,- 



■/,ih, 7,ihj 



{il,, U), U3< oiiii, -hfiii/.,- 

 » S'il y a « points singuliers, on donnera à i successivement les valeurs 



1, 2, ..., 72. 



» Le groupe g dérivé des opérations, 



{unih, ff.iU,-h[i,ii.„ u[u,-h f:i',Un), 



sera d'ordre fini. Si, en combinant d'une certaine manière les opérations du 

 groupe g, on obtient l'opération dite unité, 



{u,jU., «,,i<o), 



