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en combinant de la même tnanièie les opérations de G on obtiendra la 



substitution 



{u,,u.;.,U3, H^ + T^u^, u.-\-r',ji3, r^Wj). 



» Le système des quantités 



devra satisfaire à des conditions telles, qu'elles représentent un système de 

 périodes d'une certaine fonction abélieiine. Telles sont les conditions aux- 

 quelles sont assujettis les groupes des équations (i), quand les coefficients 

 de ces équations sont rationnels. 



» Second cas, équations (2). — Les opérations qui servent de base au 

 groupe G cherché sont de la forme 



{u,,ii., «,, Xiiii, [i,Ui, jiHt), 



et les a,, /3, et -/j sont des quantités telles, que l'on puisse trouver deux 

 nombres a et ^ de telle sorte que le système des nombres 



aL r-) o\j — » 



2/;r, o, 



o, 2 in 



puisse représenter un système de périodes d'une certaine fonction abé- 

 lienne. 



)< Il va sans dire que, si, au lieu d'envisager des fonctions abéliennes de 

 deux variables, on avait considéré des fonctions de p variables, on aurait 

 intégré une infinité d'équations du (/; + i)'"""' ordre à coefficients algé- 

 briques. « 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les formules de représeidalion des fonctions. 

 Note de M. P. du BoisRevmond, présentée par M. Hermite. 



« La Note intéressante de M. G. Jordan sur la série de Fourier, insérée 

 au Cahier du 3i janvier 1881 des Comptes rendus, a trait à des questions 

 auxquelles j'ai voué des recherches assidues, et je prie l'Académie de vou- 

 loir bien me permettre de lui présenter un résumé succinct de mes résultais. 



» Les formules de représentation de Fourier, ses séries et son intégrale 

 double sont des cas spéciaux de certains théorèmes de Galcul intégral, 



