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 qu'il est utile de prendre pour base, afin de ne pas envisager des propriétés 

 communes à des classes étendues de formules de représentation comme 

 émanant de la nature intime de celles de Fourier. 



» 1. J'appellerai jnic^fra/es represe»(an<es les intégrales / da.^{(X, h), qui, 



telles que / r/aaA-e"'^*, / da — —■, ont, pour h croissant à l'infini, une 

 valeur limite indépendante de a. Pour o <^a <lb, il s'ensuivra 



iim / du^{ûi., h) = o. 



» En désignant pary(j:) ce que l'on entend communément par /o/ic- 

 tion arbitraire, on a ces formules fondamentales : 



(A) Iim r^«/(a)$(a,/z)=o, 



(B) Iim r c^«/(a)$(a, /O=y(o)lim f da^ajj). 



» Or il s'agit d'établir, relativement ixf[x)^ des conditions aussi larges 

 que possible, mais précises et discutables, pour que ces formules subsistent. 



» 2. ]ja formule (A) n'offre plus de difficultés; sa '^théorie est en règle. 

 Elle est un théorème de Calcul intégral d'une généralité remarquable, J [x) 

 ne subissant d'autre restriction que celle d'être intégrable ('). Il en est de 



même delà formule (B) pour *^[x, h) donnant une Iim | da mod<I>(a, h) 



finie. Alors il suffit quey(o) = \'\mj[x) soit déterminée etj{x) intégrable. 



Quant au reste des intégrales représentantes, il est probable que chacune a 

 sa théorie particulière. Mais on peut essayer d'établir des conditions collec- 

 tives pour des classes de ces intégrales, qui pourraient même jouir du ca- 

 ractère de conditions nécessaires en ce sens que, si elles ne sont pas rem- 

 plies, il se trouvera dans la classe des individus qui ne représenteront pas 

 la fonction. 



» 3. L'égalité (B) subsistera toujours et pour toutes les fonctions 

 ^{x,h), vérifiant la condition du n° 1, si les différences def{x) ne 

 changent pas de signe entre x = o et x =^ î, s. étant aussi petit que l'on 

 voudra. Il s'ensuit que (B) aura encore lieu si f{x) =^ ^{^) — ^(■^)> '^^ 



(') Journal de Borchardl, t. 79, p. [^\ , 



