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 différences de 9(0?) et de i|^(.r) étant constamment non positives entre a- = o 

 etx=i. Sous l'hypothèse que /(■%•) a une dérivée intégrable /'(x), cette 

 condition équivaut à celle de la convergence de l'intégrale 



f Hamodf'ia) {'). 



» 4. Cela posé, en appliquant l'intégration par parties à l'intégrale 



X'' 

 cfo/(«) *!>(«, A), une subdivision des fonctions <^{x,h) s'accuse, qui 



nous fait connaître un nouveau genre de conditions pour l'arbitraire _/(x). 

 En effet, jc<i}{j:, h) s'annulent avec :r et ne dépassant pas des limites finies 

 pendant que h croît à l'infini, (B) aura toujours lieu quand l'intégrale 



J=jf'rf«mod^ ^>/(|3)=£rf«mod[^^ -^ j^^^|3/(P)] 



est convergente. Je vais montrer d'abord que cette nouvelle condition con- 

 tient celle du n° 3, et ensuite j'en tirerai une condition plus spéciale, re- 

 marquable par sa simplicité. 



1) 4rt. Supposons les différences de/(x) entrer = o etx = s constam- 

 ment non positives, de sorte que 



On observera que, dans ;^ ^ / ^^P/(/3) = ^^T' '^ ^^^-^^^ membre est in- 

 tégrable si /(.r) l'est. En outre, / cla'-^^est finie. Alors, puisque l'in- 



tégrale f (h-Y ^ f ^^fi?) est finie et que sa différentielle ne change p 



de signe, l'intégrale J est nécessairement convergente. 

 » h-h. Posant 



J =fda mod[^M _ -i jT'r/p/dS)] 



< r'^mod[/(a) -/(o)] + f'Jmod f dp[f{p) -/(o)], 



(') Journal de Borchardt, t. 79, p. 55. 



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