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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les Jonctions abéliennes. 

 Note de M. ïï^ Poixcaré. 



« Première remarque. — Les p équations 



0(jr', +).,_o, Ji'o+Xo,,, ..., Xp).p2) = o, 



j 1 



ont I X 2 X 3 X ... X /> solutions communes, outre celles qu'on en déduit 

 par l'addition des périodes. Elles ne sont jamais impossibles. De plus, en 

 général, on ne peut choisir les 1 de telle façon qu'elles cessent d'être dis- 

 tinctes. En supposant que la fonction 6 considérée doit son origine à un 

 système d'intégrales abéliennes, je montre à quelle condition on pourra 

 choisir les ). de telle façon que les équations (i) cessent d'être distinctes. 



» Deuxième remarque. — M. Picard, dans deux Notes du ai février et 

 du 7 mars, a montré que les fonctions abéliennes se ramènent, dans cer- 

 tains cas, aux fonctions elliptiques; de même les fonctions abéliennes 

 peuvent, dans certains cas, se ramener à des fonctions abéliennes d'un 

 moins grand nombre de variables. C'est ce qui donne l'explication d'une 

 anomalie que j'avais remarquée. 



M Une fonction de ^ variables dépend de — paramètres qui sont 



les périodes a,A. Or une relation de genre/?, 



peut être supposée de degré p -+- i (Clebsch et Gordaiï, Théorie der Abel- 

 sclien Functionen). Elle dépend alors seulement de 4/^ + 2 paramètres. 



» Supposons donc que, choisissant arbitrairement les ^-^ '- para- 

 mètres Uiit, on forme une fonction 0, que j'appelle 0,, et avec elle p fonc- 

 tions abéliennes à 2p périodes 



FF F 



» Les équations 



F, = it, F. = F;, = . . . = F,, = o 



