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 définissent a-, en fonction de u; on aura 



x-, = ff{n,v)du, 

 9 étant rationnel en u el v, cl i> étant lié à ii par une relation algébrique 

 (2) f{u,v) = o. 



» Cette relation ne sera pas, en général, du genre p, puisqu'une relation 

 algébrique du genre p dépend de moins de ^-^ paramètres. Si donc on 



forme, par les procédés connus, le système d'intégrales abéliennes de pre- 

 mière espèce qui correspondent à la relation (2), puis la fonction corres- 

 pondante, cette fonction aura plus de p variables, et pourtant elle devra 

 se ramener à la fonction 0,, qui n'en a que p. On voit donc là un des 

 exemples de ces réductions, qui ont été étudiées par M. Picard. 

 » Troisième remarque, — Soit 



F(z<,, lu, ..., Up) 



luie fonction abélienne à p variables et ip périodes. M. Appell substitue à 

 la place de m, l'intégrale abélienne ^^'''(x, y), et il arrive à ramener la fonc- 

 tion F à une fonction d'une seule variable. Cette fonction se décompose 

 alors en éléments simples de la forme 



» Bonions-nous au cas de deux variables; le résultat de M. Appell est 

 susceptible d'être présenté sous une autre forme et en même temps d'être 

 généralisé. Envisageons la fonction abélienne 



F(«,,i<2), 



et supposons que u^ et ti., soient liés par la relation 



B[Ui ■+■ X|, «2 + X2) = o. 

 F se décompose alors en éléments simples, qui sont de la forme 



a4-L0(z/, + G,, î/o+ G.) ou A'^— L0(;^, -i-G',, ?^, + G',), 



en supposant qu'il n'y ait pas d'infini midtiple. 



» Ce résultat n'est pas susceptible de généralisation dans le cas où il y a 

 plus de deux variables. » 



