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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de fondions dont les logarithmes 

 sont des sommes d'intégrales abéliennes de première et de troisième espèce. 

 Mémoire de M. P. Appell. (Extrait par l'auteur.) 



« Soient x el j deux variables liées par une équation algébrique 

 'F[x,y) = o, représentant une courbe d'ordre m et de genre p. Les fonc- 

 tions que je considère dans ce Mémoire comme analogues des fonctions 

 doublement périodiques de seconde espèce sont des fonctions du point 

 analytique (x, j-) qui n'ont, sur toute la sphère, d'autres points singuliers 

 que des pôles et des points critiques algébriques, à savoir les points cri- 

 tiques de la fonction j- de x; de plus, ces fonctions se reproduisent mul- 

 tipliées par un facteur constant quand le point {oc,j) décrit un cycle quel- 

 conque. 



» Comme je l'ai montré précédemment [Comptes rendus, t. XCI, p. 972), 

 ces fonctions servent à intégrer une classe d'équations différentielles 

 linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x et j^, 

 telles que l'intégrale générale n'ait d'autres points singuliers que des pôles 

 et des points critiques algébriques (les points critiques de la fonction / 

 de x), et que la variation de l'intégrale quand le point {x, /) décrit diffé- 

 rents cycles soit indépendante de Tordre de succession des cycles. 



» Désignons par 



^^t"(a;, 7-), lé'^ix, r), ..., «'^'(^,J) 



les intégrales abéliennes normales de première espèce relatives à la courbe 

 F = o, et par 



< = o, 



'^.,-, = 27rN/-i, ■■■, <;-. = o, 



les 2p périodes normales de l'intégrale u^'^{x,j). Lorsque le point (a:,j) 

 décrit le cycle correspondant à la période wj,", l'une des fonctions <^{x, /) 

 que nous considérons se reproduit multipliée par un facteur ou multipli- 

 cateur p.^. Il existe 2p multiplicateurs p.^ correspondant respectivement 

 aux ap cycles qui donnent les périodes normales. 



)) Soit 0(m,) la fonction de p variables formée avec les périodes nor- 

 males (Briot, Théorie des fondions abéliennes, p. ii4). On a déjà une pre- 



