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 mière expression de la fonction (I)(.r, 7) en prenant 



R(x,/) désignant une fonction rationnelle de x et 7, X,, g,- et ki des con- 

 stantes. Les p constantes li^ sont arbitraires ; les ip constantes X, et g, sont 

 déterminées par les équations suivantes, qui expriment que la fonction 4> 

 admet ip multiplicateurs donnés ^i, : 



(2) ! -"-='-'= '''"^'^'' i (,-=1, 2, ...,p). 



^ '' ( p,,. _g2(X,c<„+>^a,,+...+X/,a^,)+^?. ) ^ 



Ces équations donnent toujours un système de valeurs pour ces con- 

 stantes; les )., sont déterminés à des entiers près et les g, à des multiples 

 près de périodes conjuguées. 



» Cela posé, j'indique pour les fonctions telles que $(ir, y) une formule 

 de décomposition en éléments simples analogue à celle que M. Hermite a 

 donnée pour les fonctions doublement périodiques de seconde espèce. 



)) J'écarte d'abord le cas exceptionnel où les constantes g, seraient nulles 

 à des multiples près de périodes conjuguées, c'est-à-dire où les ap multi- 

 plicateurs jxa seraient de la forme 





(3) K''"'_li;iX........„..,., 1 (^ = i.^-mP). 



Ce cas exceptionnel est analogue à celui qui se présente déjà pour les 

 fonctions doublement périodiques de seconde espèce et qui a été signalé 

 d'abord par M. Fuchs [Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3^ série, 

 t. IV, p. i32), puis étudié d'une fnçon plus approfondie par M. Mittag- 

 Leffler [Comptes rendus, t. XC, p. 177). 



» Lorsque les multiplicateurs n'ont pas cette forme exceptionnelle (3), 

 l'élément de la décomposition est la fonction 



(4) .f(^,r;£,-i) = Ae 0[«<o(^,^)-«(O(e,.) + /,.j ' 



où 



(5) A,= Q- ^ ii^'\oc„j,). 



