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 Cette fonction J admet les mêmes multiplicateurs que la fonction $ à dé- 

 composer; elle devient infinie du preinier ordre aux^ points 



De ces p points, les p — i derniers (jt/i.jTa) sont entièrement arbitraires; le 

 premier seul {'^,'o), qi'i est mis en évidence, reçoit, dans la formule de dé- 

 composition, des valeurs déterminées, à savoir les valenrs qui rendent 

 *(x, J-) infinie. La constante A qui figure dans l'expression (4) est déter- 

 minée de façon que le résidu de l'une des valeurs de J relatif à l'infini 

 X = ^ soit égal à l'unité. 



» La formule générale de décomposition des fonctions telles que $ {ûc,j-), 

 que l'on obtient de cette façon, conduit, quand les constantes X; et ^, tendent 

 vers zéro, à la formule donnée par Roch pour la décomposition d'une 

 fonction rationnelle en éléments simples (voir Journal de Crelle, t. 84, 

 p. 294, Lettre de M. Lindemann à M. Hermite). 



» Le cas exceptionnel où les multiplicateurs p./, ont la forme (3) peut 

 aussi se déduire comme limite du cas générai; mais il est plus simple de le 

 traiter directement, en s'appuyant sin- la formule de Roch. Dans ce cas 

 l'élément de la décomposition est la fonction 



où Z(§, •/;) est l'intégrale abélienne normale de seconde espèce dont le 

 pôle se trouve au point (£, rj). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur tes formules de représentation des fonctions ('). 

 Note de M. P. du Bois-Reymond, présentée par M. Hermite. 



« Distinguons les conditions qui permettent de représenter une valeur 

 particulière de la fonction arbitraire de celles que prescrirait sa représen- 

 tabilité dans un intervalle entier. Nous ne nous occuperons pas de ces 

 dernières, qui, par exemple, imposent aux fonctions discontinues un genre 

 restreint de discontinuités. Quant aux premières, il faut encore distinguer 

 des conditions de point et des conditions d'intervalle, celles-là n'exigeant 

 qu'un certain mode d'approche de la fonction à sa valeur à représenter, 

 tandis que celle-ci prescrit la même condition pour toutes les valeurs de la 

 fonction dans nu intervalle o...c, aussi petit que l'on voudra. 



(') Voir Comptes rendus, niènift Tome, p. 91 5. 



