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 )) Évidemment la condition du n" 3 dans sa première forme est une 

 condition d'intervalle; celles de la convergence des intégrales 



r'./«mod/(«), r'^mod[/(«)-/(o)], 



au contraire, sont des conditions de point. C'est principalement aux condi- 

 tions de point que viseront les efforts de la Science. Elles sont l'expression 

 la plus abstraite du problème de la représentation des fonctions. Aussi la 

 transformation exposée au n° 3 de la condition de Dirichlet en une condi- 

 tion de point est-elle le nerf de l'analyse dont je viens d'indiquer la marche 

 et quelques résultats. 



/ .(• 



6. En faisanty( j:) — /(o)= -rrr' on peut déterminer p{x) en sorte 



que cette fonction devienne infinie pour x = o, avec des différences con- 

 stamment négatives, et que limX(jr) ne soit ni infini ni zéro. Nommons la 



fonction p{x) le degré de contmuité de la fonction f[3c) pour or = o. Il est 

 évident qu'il jouera un grand rôle dans les conditions de point. En intro- 

 duisant la fonction j3(x), on a 



j = f'^moà[f[a)-~f[o)] = £ 



, modXfa) 

 du T-V 



Cela nous apprend que, si l'intégrale / '"', estfinie, il suffit que X(a) soit 



intégrable, et que, si elle est infinie, X(a?) devra osciller de manière à rendre 

 l'intégrale/ convergente. Mais il ne sera pas nécessaire que X(j:) s'éva- 

 nouisse pour X = o, par exemple, quand p{x) est égale à log-- 



» 7. Les formules de représentation de Fourier répondent au cas spécial 

 $(a7, h) = !lILf_i, et Ton peut s'attendre à trouver la théorie particulière de 



ces formules ébauchée assez imparfaitement par la théorie générale. Or, il 

 parait qu'il n'est pas facile de trouver pour les cas spéciaux de <!>( Jr, h) des 

 conditions s'accordant mieux avec les faits que les conditions générales. 

 Peut-être aussi n'est-ce pas une entreprise bien raisonnable que de vouloir 

 passer au tamis d'une seule fonction $(x, k) la multitude illimitée d'es- 

 pèces de fonctions possibles. Guidé par des réflexions pareilles, je suis fina- 

 lement entré dans une nouvelle voie. J'ai cherché les conditions pour la 

 représentation d'une forme spéciale de fonctions y (.r), généralisable ensuite. 



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