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 des racines de l'équation fondamentale relative an point a, les autres sont 



+ Â-,, — I- A-j, . . . , — h k„_, , 



— désignant nne fraction irréductible et /•,, ^.,, ... ^•„_, des entiers positifs. 



» Si ces condilions sont remplies pour tous les points singuliers de l'é- 

 quation différentielle (r), l'intégrale générale de cette équation peut s'obte- 

 nir parla méthode suivante. Soit N le plus petit commun midliple des dé- 

 nominateurs de toutes les fractions telles que — relatives aux différents 

 points singuliers; si l'on considère la fonction 



-■J\ 



cette fonction satisfait à une équation différentielle linéaire d'ordre 



(«-+-il...(« + N-i) 



m ■ 



à coefficients doublement périodiques. Cette équation peut être formée 

 par la méthode que j'ai indiquée [Comptes rendus, t. XCI, p. 211); elle 

 admet, pour intégrale générale, une fonction homogène de degré N, à 

 coefficients arbitraires, des éléments d'un système fondamental d'intégrales 

 de l'équation (i). Par conséquent, d'après les hypothèses faites sur les 

 points singuliers de l'équation (i), l'intégrale générale de l'équation en z 

 est une fonction uniforme de x dans toute l'étendue du plan; elle pourra 

 donc s'obtenir au moyen des fonctions 0, H de Jacobi, par la méthode 

 indiquée par M. Picard [Comptes rendus, t. XC, p. 128). Une fois que l'on 

 a obtenu un système fondamental d'intégrales de l'équation en z, 



il ne reste plus qu'à déterminer des constantes X,, X,, . . ., X„ de façon que 



l'expression 



1 



J = ( )., z, + )., z, 4- . . . + A,„Z,„ f 



soit une intégrale de l'équation (i) ; ce que l'on pourra faire par substitu- 

 tion directe dans l'équation (i). Il sera possible d'éviter cette substitution 

 si l'on possède n intégrales Ç,, Ço, . .., Ç„ de l'équation en z telles que l'in- 

 tégrale générale de celte équation soit luie fonction homogène de degré N, 



