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 à coefficients ;irbitraires, des ti fondions 



1 ' i 



bi > Si ' • • •' S" » 

 I 



alors ces n fonctions Çf forment un système fondamental d'intégrales de 

 l'éqnation (i). 



)) II. Prenons, par exemple, l'équation de Lamé 



(3) tL^=[n{n+\)F-sixKv-\-h]Y, 



qui a été intégrée par M. Hermite dans le cas de n entier, et supposons 



que n soit de la forme , n' étant entier. Alors les deux racines de 



l'équation fondamentale déterminante, relative au point singulier .r = jK', 



2«' -4- I 2«'-+- 3 , , i-rr. 



sont ■. > nombres commensurables dont la di terence est 



2 1 



entière. Si donc les éléments de l'intégrale générale ne contiennent pas de 

 logarithmes, on pourra appliquer la méthode précédente. Il faudra former 

 l'équation du troisième ordre 



- ^, =[(2«'-f-i)(2«'+3)A^sn^r + 47.]^ 



( -K ( 2 «' + 1 ) ( 2 ra' -I- 3 ) ^-'^ sn .r en ,r d n r . z-, 



à laquelle satisfait la fonction 3=:j-'; cette équation (4) étant intégrée, 

 on formera, comme il a élé indiqué, l'intégrale générale de l'équation (3). 

 » Ainsi, par exemple, si l'on suppose 



(5) «=-, 7i=0, «= ; , 



^ ' ,2 4 



l'équation (4) admet pour intégrales les trois fonctions cnx, sn.r, dn.r. 

 Pour conclure de là l'intégrale générale de l'équation (3) dans ce cas par- 

 ticulier, on remarque que, si l'on fait 



Ç , — A en a; + P) sn r + C dn .r, 

 Ço = A' en a- + B' sn x + C d n ,r , 



l'expression v'ÇtÇa est une fonction de la même forme, à condition que 



( AU-'= + B^ -C=>i'=' = o, 

 ^ ' \ A'^k'^ + B'- - Cr-k'^ = o, 



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