( Tosr) ) 



» Or je trouve facilement, pour le cas de e = 3, qu'il n'y a pas de fac- 

 teurs exceptionnels, de sorte que tout diviseur premier de la fonction bien 

 connue 



r^ + Yi^ 



p — i 



est nécessairement ou p ou un résidu cubique de ^, Pour e= 4, la même 

 chose n'a pas lieu. 



» Quand P=J^ + g^i où /est impair, si g- est divisible par 4, mais non 

 pas par 8, le nombre 2 divisera la fonction des quatre périodes, mais ne 

 sera pas (comme on sait bien) un résidu biquadratique, mais seulement 

 un résidu quadratique de p; déplus, si g n'est pas divisible par 4» toi'' 



nombre premier contenu dans - sera un diviseur de la fonction des pé- 

 riodes, et, si ce nombre premier est de la forme 4' + 3, il sera seulement un 

 résidu quadratique et non biquadratique de p. Pour e = 4. il "'y '-^ P^s 

 d'autres diviseurs exceptionnels au delà de ceux que j'ai donnés ci-dessus. 

 En établissant ce fait, j'ai été amené à cette proposition curieuse, qu'il 

 serait difficde (il me semble) d'établir par un autre genre de considé- 

 rations, mais qui est indubitablement vraie, c'est-à-dire : 



» Si p =/' -t- (2g)^ [p étant un nombre premier et g impair), tout 



nombre contenu dans te nombre impair — — — — est un résidu biquadratique 

 de p. 



M Mais je passe à un théorème général, qui me paraît très intéressant et 

 que voici : 



» 1° Sie (le nombre des périodes) est un nombre premier de la forme 2^ -)- i , 

 le nombre 2 ne peut pas être un diviseur exceptionnel de la fonction des e pé- 

 riodes. 



» 2" Si e est un nombre premier, un facteur exceptionnel R (si un tel cas 

 peut exister) doit entrer à la seconde puissance au moins comme facteur dans e — i , 

 de sorte qu'on sait que, pour e = 2, 3, 5, 7, 1 1 , 1 7, i7 n'existe pas de diviseur de 

 la fonction des e périodes en dehors de p et des résidus e'""" de p. 



» Quand e = 19, puisque 19—1 contient 3", le théorème n'exclut pas 

 la possibilité que 3 soit un diviseur de la fonction à dix-neuf périodes sans 

 être une dix-neuvième puissance résidu de p. De même, quand e = i3, le 

 théorème ne dit rien sur le caractère du diviseur 2, dont le carré 4 est con- 

 tenu dans i3. Cependant, je n'ai pas la moindre raison pour conclure que 

 les diviseurs exceptés sont vraiment des facteurs exceptionnels. 



» On doit regarder le cas où, e étant un nombre premier, e — i con- 



