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» Grâce à la connaissance de cette propriété, il suffira d'une intégrale 

 p'articulière pour obtenir l'intégrale complète. C'est par les fonctions ellip- 

 tiques qu'on y parvient. Si l'on prend a^logq, on a une solution en 

 choisissant, pour u,, u.^, u^, les dérivées logarithmiques, par rapport à a, 

 des trois fonctions 0"(R), 6^(0), H'(K). 



» Je vais tout d'abord vérifier cette solution. Pour ce but, je désigne 

 par 5,(x), Ô2(.r) deux quelconques des trois fonctions @{x), 6(^-+-K), 

 H(jr-f-R) et par Çi(x'), 'Çji^) leurs dérivées logarithmiques par rapport 

 à X. Je prends pour point de départ l'égalité suivante, aisée à démontrer: 



(•) ç";(o)+ç':(o) + 2[ç',(o)-r.(o)]^=o. 



» Pour chacune de ces fonctions ont lieu les relations 



et il en résulte 



r'ie.\ --!!l '^'°g^(°) r'(n\ - ^ \'I!}2S^) _ , r^/ iog9(o) Tl 



'^\'^)— K' dio(i<] ^ ^ '~ K'\{U\ozq)^ l d\osq J )■ 



Si je pose donc 



dlogq dlogq 



'égalité (1) devient 





d{u,.-+- u,) 



diogq 



C'est ce qu'il fallait démontrer. En employant les développements connus, 

 j'ai ainsi, pour solution particulière, les trois fonctions 



'^ ' 14- aC^- 2e'''+2e"'-l-2e"''' + . . . ' 



^ ^ ' I — 2e"+ 2e'*"— 26'*"+ 2c''"— . . . ' 



UJ«) = 



_ I +9e^''+25e«''+49e'''"+8if^"«4-. 



» L'intégrale générale du s)'stème proposé est donc 

 a' ab' — ba' 



II, = — 



a' a. 4- b' 



ab' — ba' I aci-{- b\ , „. 



