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» Ici se place une observation. La symétrie exige qu'il existe une sub- 

 stitution linéaire qui, effectuée sur a, échange entre elles U, et Uj en con- 

 servantUjjetune autre qui écliangeUjCt Ujen conservantU, . De là l'origine 

 d'un groupe de substitutions qui est ici bien connu : c'est celui qui se rap- 

 porte aux deux fonctions ç(p) et 4'(p)> introduites par M. Herniite [Comptes 

 rendus de i858) pour la théorie des équations modulaires et liées d'ail- 

 leurs aux fonctions actuelles par les relations 



U.(«)-U.(«) = 8^-^log^(-^ 



U3(a)-U,(a) = 8^Jog| 



L'échange des fonctions se fait comme il suit : 



U,(a + /7T) = U2(a), Ui(a4-/7i) — U,(a), U3(a + /n) — U3(a) 

 U.(« j = - -TT^ - (--73^ U3 (^^^^^ j , 



iir — a [17: — a. i 



fn — a /7r — a 



» Par là, on le voit, l'étude actuelle se rattache directement à celle des 

 groupes discontinus de substitutions linéaires, si heureusement imaginée 

 par M. Poincaré. Le système d'équations différentielles non linéaires dont 

 j'ai parlé ici n'est pas le seul qui conduise à de tels groupes. C'est un cas 

 particulier d'un autre système, presque aussi simple, dont j'aurai à parler 

 ultérieurement, et qui s'intègre au moyen des fonctions hypergéométriques 

 X, Y, Z, définies dans ma Communication du 4 avril dernier. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les formes trilinéaires. 

 Note de M. C. Le Paige. 



« Considérons la forme Irilinéaire 



ou, plus exphcitt ment, 



1 J'= l[ax,-\- a'x.,){by,-\- b'j-..){cz, -hc'z,) 



c. K., 1881, 1" Semtslrt. (T. XCll, N" 19.) '46 



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