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 des formes bien différentes, el chaque forme d'équation donne lieu à des 

 théorèmes spéciaux dont chacun présente des avantages particuliers. 



» J'en ai déjà donné un exemple en montrant comment la règle des 

 signes de Descaries s'étend au cas où le premier membre de l'équation est 

 exprimé au moyen des polynômes de Legendre ou, plus généralement, au 

 moyen de polynômes satisfaisant à une équation linéaire du second ordre. 

 Voici, dans le même ordre d'idées, quelques propositions très simples et 

 qui peuvent être de quelque utilité. 



» 2. Soit, en désignant par w une quantité positive quelconque et par 



Oto, <Z|, Kjj •••) <^n— J) ^n—\ 



des quantités réelles quelconques rangées par ordre croissant ou décrois- 

 sant de grandeur, 



Cela posé, | désignant une quantité quelconque comprise entre «, et a,^.,, 

 le nombre des racines de iéquaùon F(a:) = o, qui sont comprises entre ^ et cr.,+,, 

 est au j)lus égal au nombre des alternances (') de la suite 



"1 +1 . A,- 



1+2 I 



» Comme application, considérons l'équation 



I I 1 



, + — p = o. 



.r — 1 .V — 3 ,r — ■ a 



En désignant par £ une quantité infiniment petite et en substituant succ»s- 

 sivemeut — ce , a + j, 5 — 2, + co , on trouve les suites suivantes : 



1 - I + 1 , 1 - i 4- X , - { + i - ^ , I - I + I . 



Comme elles ne présentent aucune alternance, on en conclut que la pro- 

 posée a toutes ses racines imaginaires. 



( ' ) J'entends par nombre des alternances d'une suile A-4-B + C + D+... le nombre 

 des variations des termes 



A, A-+-B, A-+-B-1-C, A + B + C-+-D, 



Il t'st important de remarquer qu'il ne peut surpasser le nombre des variations des termes 

 A,B, C, D, .... 



