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 » 3. Si fù est une quantité positive quelconque, i équation 



a + hx + cx[x — q) -h dx{x — w)(ar — 2«) + . . . = o 



a au moins autant de racines positives que l'équation 



a + bx -+- ex'- -+- dx^ + . . . = o. 



» Soit, par exemple, le polynôme hypergéométrique du degré n 



Y{x) = .-'{[ 



n[n — i) xix — 



I . ?. a ^ a + I ) 



ni ri — I V /? — -y,] .rix — u ] f j: - 



1.2.3 a(a -(-i)(a-(-2) 



où a et « désignent des quantités positives quelconques ; il résulte de la pro- 

 position précédente que l'équation F[x) = o a au moins autant de racines 

 positives que l'équation 



n r ni n — i ) .r- nin. — \]in — 2 1 .r' 



1 1 ^ ' — r ^ -4 '- ■ 5 + • • • = O. 



I a 1.2 a(a-l-l) 1.1.6 1.2.3 



Or cette dernière a ses n racines réelles et positives, comme on le voit aisé- 

 ment par l'équation différentielle 



à laquelle satisfait son premier membre. L'équation F(.r) = o, qui est 

 également du degré n, a donc toutes ses racines réelles et positives. 

 » 4. J'énoncerai encore la proposition suivante : 

 » a désignant une quantité arbitraire, considérons la suite 



/(.r) +f'{x)[a - X) +f\x) '-^ +/'"(.:) ^^^ + . . . . 



Soient Va et Vp le nombre d'alternances que présente cette suite quand on 

 y remplace successivement x par a et par j3; cela posé, le nombre des racines 

 de l'équation f{x) = o, qui sont comprises entre a et p, est au plus égal à la 

 somme des nombres Va et Vp si a est compris entre a. et j3, et au plus égal à leur 

 différence dans le cas contraire. 



» En particulier, la suite considérée n'offre aucune alternance si l'on 

 fait X = a, d'où une proposition très simple que l'on peut énoncer de la 

 façon suivante : 



» Le nombre des racines de r équation f[^x) =^ o, qui sont comprises entre les 



