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GÉOMÉTRIE. — Sur la géométrie des sphères. Noie de M. C. Stephanos. 



« 1. Dans une importante Communication faite à l'Académie des 

 Sciences [Comptes rendus, p. 71-73), M. Laguerre a introduit la notion in- 

 génieuse des semi-plans, semi-sphères, etc., et fourni ainsi le point de départ 

 pour la formation d'une Géométrie particulière, dans laquelle on consi- 

 dérerait comme élément de l'espace le semi-plan, ou plus généralement la 

 semi-sphère. 



» En examinant quels seraient les matériaux de cette Géométrie, j'ai re- 

 connu qu'elle devait être identique avec la géométrie des sphères de 

 M. Lie (' ), en ce sens qu'elle s'occuperait des propriétés des figures de l'es- 

 pace, inaltérables par les transformations entre sphères étudiées par l'é- 

 minent géomètre de Christiania. Dans cette Note je vais indiquer, si l'Aca- 

 démie veut bien le permettre, comment on peut établir la communauté de 

 fond entre ces deux théories. 



» 2. Pour cela je commencerai par présenter, pour les notions intro- 

 duites par M. Laguerre, des définitions qui conviennent à mon but. Un 

 semi-plan est constitué par un plan auquel on a attaché l'un des points sui- 

 vant lesquels il coupe le cercle C^ à l'infini. JJne semi-sphère est constituée 

 par une sphère considérée comme lieu de l'un de ses systèmes de droites. 

 Il est aisé de voir, d après cela, que l'on nç peut détacher d'une surface 

 deux semi-surfaces distinctes que si les lignes géodésiques de longueur 

 nulle de cette surface se séparent en deux systèmes distincts, de manière 

 que par tout point ordinaire de la surface ne passe qu'une seule courbe de 

 chacun de ces systèmes; les cônes de révolution sont dans ce cas. 



» 3. Je passe aux transformations entre sphères de M. Lie. Ces trans- 

 formations résultent des transformations linéaires de l'espace des droites 

 lorsqu'on fait correspondre, d'après Lie, à ces droites des sphères, de sorte 

 que, S étant la correspondance entre droites et sphères et T une transfor- 

 mation linéaire de l'espace des droites, R=:S"''TS sera la correspondance 

 entre sphères qui en résulte. 



» Maintenant, l'introduction de la notion des semi-sphères dans les cor- 



(') Lie, Ueber Complexe, iiisbesoiulere Linien-und Kugel-Coinple.re [Math. Annalen, 

 t. V, p. 164-188; 1872). — Voir aussi : Klein, yergleichende Betrachtungeii uherneuere 

 geometiische Forsclnmgcn ; Erlangen, 1872, §7. — Il est juste de noter que la présente 

 Note est conçue dans l'esprit des principes développés par RI. Klein dans ce travail. 



