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 respoiulances R ^S~'TS est autorisée, on peut dire imposée, par la nature 

 de S. En effet, pour élablir la correspondance S, M. Lie part de la re- 

 présentation des droites C^ , qui rencontrent C^ par les points P de l'es- 

 pace à trois dimensions. Les points P d'une droite^ représentent alors des 

 droites C^, qui sont sur une sphère, qui engendrent par conséquent une 

 semi-splière. 



» S constitue donc une correspondance entre droites et semi-sphères. Deux 

 semi-sphères opposées, c'est-à-dire détachées d'une même sphère, corres- 

 pondent à deux droites qui sont polaires réciproques par rapport à un 

 complexe linéaire L. Aux droites de L correspondent en particulier les 

 points, c'est-à-dire les semi-sphères infiniment petites qui coïncident avec 

 leurs opposées. 



» Parmi les droites de L, il y en a une (Z) qui joue un rôle particulier; 

 aux droites p qui la rencontrent, correspondent des semi-plans n. Si p 

 tourne autour d'un point de /, les semi-plans tt correspondants passent 

 par un même point de C^ ; c'est le point attaché à tous ces semi-plans (n° 2). 

 Aux droites du complexe L qui rencontrent la droite l correspondent 

 des semi-phins tangents de C^ , lesquels se confondent avec leurs opposés. 



» Puisque maintenant S et S ' font correspondre à chaque droite 

 une semi-sphère, ou vice versa, il résulte que R = S~'TS, de même que 

 R~' :=S~'T~'S, fait correspondre à chaque semi-sphère une semi-sphère, tout 

 en échangeant, en cjcnétal, les points et tes semi-plans par des semi-sphères. 

 L'introduction de la considération des semi-sphères dans les correspon- 

 dances R apporte donc ce précieux avantage de restituer le caractère de 

 birationnalité à ces correspondances, et d'ôter ainsi toute ambiguïté au ré- 

 sultat de leur composition mutuelle. 



» Les transformations linéaires T de l'espace des droites sont, d'après 

 M. Klein, les unes homographiques, les autres corrélatives. Parmi ces 

 dernières, on a à remarquer la corrélation focale L déterminée par le 

 complexe L; toute autre peut être composée de L et d'une homographie. 

 La correspondance R = S~'JjS échange chaque semi-sphère en son opposée. 



i> Le rôle des transformations R dans la géométrie des semi-sphères est 

 établi par ce fait connu, qu'il n'y a pas d'autre correspondance entre 

 sphères pour lesquelles le contact soit une propriété invariante. 



» 4. Dans le groupe tles transformations Rest contenu, comme on sait, 

 le groupe déterminé par les transformations par rayons vecteurs réci- 

 proques. Les transformations U de ce sous-groupe correspondent aux trans- 

 formations T qui laissent le complexe L invariable. 



