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)> Par contre, au groupe des transformations T qui ne déplacent pas la 

 droite l correspond un (jroiijieY de tiansfonna lions R jjar lesquelles à chaque 

 semi-plan correspond un semi-plan, de même qu'à chaque semi-cône de ré- 

 volution un semi-cône pareil ('). Toute correspondance entre semi-plans 

 par laquelle à des semi-plans passant par une droite c„ correspondent des 

 semi-plans passant encore par une droite <?„ est contenue dans ce 

 groupe V. Les propriétés des figures de l'espace inaltérables par les trans- 

 formjitions V intéressent la cjéomélrie des semi-plans. Cette géométrie a 

 donc sa place marquée à côté de la géométrie des rayons vecteurs réci- 

 proques. 



' 5. Parmi les correspondances V entre semi-plans, il convient de 

 remarquer particulièrement celles qui proviennent de transformations 

 T — SVS~', dans lesquelles toutes les droites appuyées sur deux droites 

 Pi-, P-2 fl"i rencontrent / correspondent à elles-mêmes. 



» Dans une pareille correspondance entre semi-plans, il y a deux semi- 

 pians /o/a/flfnen^zu.v TtijTïn, qui correspondent à eux-mêmes. Toute semi- 

 sphère qui touche n, et ti, correspond à elle-même. Deux semi-plans cor- 

 respondants sont tangents à un même semi-cône de révolution touchant 

 les deux plans fondamentaux; ces deux couples de semi-plans déterminent 

 sur le semi-cône un rapport anharmonique constant et qui est le même 

 pour tout couple de semi-plans correspondants. 



» La correspondance par directions réciproques, étudiée par M. Laguerre, 

 dans la Note citée, est un cas particulier de ces correspondances. On l'ob- 

 tient, en effet, en supposant que les deux semi-plans fondamentaux viennent 

 à devenir opposés, ce qui arrive dans le cas où les deux droites p, et/).,, 

 auxquelles correspondent dans S les plans ;:, et tTj, deviennent polaires 

 l'une de l'autre par rapport au complexe L. Si les deux droites p, et p^ 

 s'approchent infiniment de la droite /, tout en appartenant au complexe L, 

 la transformation par direction réciproque devient une dilatalion. » 



(' ) Nous ne savons pas si ce sous-groupe V a attiré jusqu'ici l'attenlion. Nous trouvons 

 cependant que M. Lie a déjà remarqué que les transformations R qui correspondent à des 

 transformations T laissant invariables le complexe L et la droite /, et qui sont ainsi com- 

 )nunes aux deux sous-groupcs U et V, constituent les homographies qui font glisser le 

 cercle C„ sur lui-même. 



C. R., 1881, 1" Semestre. (T. XCll, N» 21 ) l58 



